3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计

教学准备 1.

教学目标 知识与技能

1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．

2.能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数． 过程与方法

使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．

情感、态度与价值观

通过本节的学习进一步体会导数与其他知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．

2.

教学重点/难点 教学重点

用定义法求常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式

教学难点

会用基本初等函数的导数公式解决简单的实际问题

3.

教学用具 多媒体

4.

标签

教学过程 教学过程设计

1、温故知新、引入课题

【师】求函数在点xo处的导数的方法

【师】导函数的概念? 当x=x0时, f'（x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

【师】如何求函数y=f(x)的导数?

【设计意图】复习函数在x0处的导数，和导函数的区别与联系，求导函数的方法和步骤，为学习新课打下基础，自然的进入课题内容。

2、新知探究

【合作探究】

根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 探究1 函数y=f(x)=c的导数. 【师】根据导数定义，因为

所以

y'=0表示函数y=c图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

【活动】师生共同完成

y'=1表示函数y=x图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

【活动】一生口述老师完成

探究3.y=f(x)=x2的导数

y'-=2x 表示函数y=x2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函数y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=x2增加得越来越快．若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

【板演/PPT】

【活动】学生讨论自主完成。

根据经验我们知道，应该能够把分母上的约去才行（因为取极限时，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：

【总结提升】

你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？

[2]基本初等函数的导数公式

【师】为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表。

【典例精讲】

例1.求下列函数的导函数：

【小结】

1．应用导数的定义是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度．

2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．

3．根式、分式求导时，先将其转化为指数式的形式．

【变式训练】求下列函数的导数．

例2.若曲线积为18，求a的值．

【解析】

处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

所以切线方程为

易得切线在x轴、y轴上的截距分别为

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键．

【变式训练】已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．

【解】

由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，

联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，

∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，

∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 例2．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价P单位：元）

与时间t（单位：年）有如下函数关系，其中P0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有所以

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

【变式练习】如果上式中某种商品的p0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：当p0=5时，

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有所以因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．

当堂训练

1.下列各式正确的是

（

）

2.下列各式正确的是

（

）。

3. f(x)=80，则f ' (x)=______.

5.求双曲线在点处的切线方程．

6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

【参考答案】

1. C 2. D 3. 0 4. ex e 5.解析：∵

∴

∴切线方程为即：x＋4y－4=0

6.解析：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，

所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，

曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1. 又曲线过点(2，－1)，

所以4a＋2b＋c＝－1. 由

解得

所以a、b、c的值分别为3、－11、9.

课堂小结 1.求常用函数的导数. 2.基本初等函数的导数公式

1.若f(x)=c,则f′(x)= 0

；

2.若f(x)=xa (a∈Q*),则f′(x) = axa-1；

3.若f(x)=sinx,则f′(x) = cosx ；

4.若f(x)= cosx,则f′(x) = -sinx ；

5.若f(x)=ax,则f′(x) = axlna(a>0) ；

6.若f(x)=ex,则f′(x)=ex;

7.若f(x)=logax,则(a>0,且a≠1); 8.若f(x)=lnx,则

课后习题 【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P18 习题1.2 A组1,2,3.

板书