3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计第二课时

函数的单调性与导数

一、教学目标

【知识与技能】

探索函数的单调性与导数的关系，会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

【过程与方法】

通过观察、分析、概括的数学活动，掌握用导数研究单调性的方法，同时渗透数形结合思想、转化思想。

【情感态度与价值观】

在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。

二、教学重难点

【重点】

探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

【难点】

探索函数的单调性与导数的关系。

三、教学过程

(一).知识回顾：

问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：

(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较) (5)结论 (二).思考与探究：

练习：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7

(2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：

用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？

下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系

再观察函数y=x2－4x＋3的图象：

总结: 该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.

思考：这种情况是否具有一般性呢？

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

（三）．结论：在定义域内的某个区间(a,b)内, 如果 f/

(x)﹥0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f/

(x)﹤0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数. （四）.例题讲解

例1.已知导函数f/ (x)的下列信息: 当1﹤x﹤4时，f(x)0;当x﹥4,或x﹤1时，f(x)0;当x=4,或x=1时，f(x)0.则函数f(x)图象的大致形状是(

）。

yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

A B C D 练习1.已知函数y=f (x)的图象如图所示，试画出其导函数f '(x)图象的大致形状。

yacObx

练习2.设f ´(x)是函数f(x)的导函数，y=f ´(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是( )yyoy12xoy12xoy12xA2Bo1xo12xCD

练习3.函数y=f (x)的图象如下图所示,则yf'(x)的图象可能的是()

练习4.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④

例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1)

f(x)x33x; (2)

f(x)x22x 3;

(3)

f(x)sinxx,x(0,);

(4)

f(x)2x33x224x1.

思路点拨：求可导函数

f (x)单调区间的步骤

题后感悟：

1.当遇到三次或三次以上的函数,或图象很难画出的函数求单调 性问题时，应考虑导数法. 2.利用导数求函数

f (x)的单调区间，实质上是转化为解不等式

f’(x)>0 或f’(x)<0 ，不等式的解集就是函数的单调区间。

3. 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”

“或”

“且”连接，而只能用“逗号”“和”

“及”字隔开． 4. 在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

（五）.课堂小结1.求函数的单调区间的一般步骤:(1) 求出函数f(x)的定义域A；(2) 求出函f(x)数的导数(3)不等式组xA(4)不等式组的解集为f(x)的单调减区间；f(x)0说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.xA的解集为f(x)的单调增区间；f(x)0(x)f；2.证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在（a,b）内的符号(3)作出结论