3.1.3 导数的几何意义优秀教学实录

3.1.3

导数的几何意义

●三维目标

1.知识与技能

理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．

2．过程与方法

培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．

3．情感、态度与价值观

经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．

●重点、难点

重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．

难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．

一．复习旧知

（1）.平均变化率、割线的斜率

（2）瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、新课讲授

1.曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时, xnx0f(x0x)f(x0)kn无限趋近于切线PT的斜率k,即klimf(x0)

x0x说明: (1)设切线的倾斜角为,

那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k得到曲线在点

x(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3.导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个

确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)ylimx0f(xx)f(x).

x注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. '(3)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是

例1、

若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝fx(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

) 求函数在点0处的导数的方法之一. 三.例题精析

【规律方法】

1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．

2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)

(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都在小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)

在

(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零

时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．

3．若f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则f(x)的图象是向下凸的，如题中图A.若f′(x)在(a，b)上是减函数，则f(x)的图象是向上凸的，如题中图B.若f′(x)是在区间(a，b)上的常函数，

则f(x)图象是一条线段，如题中图C.

【变式训练】

已知y＝f(x)的图象如图3－1－2所示，则f′(xA)与f′(xB)

的大小关系是(

)

图3－1－2

例2、

(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程．

(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．

【思路探究】

(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何

求切线方程？若不是切点该怎么办？

【规律方法】

1．求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程的步骤为：

(1)求出P点的坐标(x0，f(x0))；

(2)求出函数在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)＝lim

Δx→0

x0＋Δx－fx0f＝k，得到曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；

Δx

(3)利用点斜式写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

问题．

(1)求曲线在点P处的切线方程(此时点P为切点)；

2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程时需要注意两类(2)求曲线过点P的切线方程，此时点P不一定是切点．

对于过点P作曲线的切线(或曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的

切线)这类问题，无论点P在曲线上，还是不在曲线上，我们都

要设出切点，否则极易漏解．

【变式训练】

四.课堂小结

1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)11(1)求曲线y＝x在点A(2，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．

(2)过点P(1,1)作曲线y＝x3的切线，求此切线方程．

00

P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为

y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数

f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一

都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定

个确定的值x0，

义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导

函数f′(x). 在点P(x，f(x))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点

．板书设计

略