1.1.3 四种命题间的相互关系第二课时教案

1.1.3 四种命题间的相互关系 教学设计 (一)课标解读

本节课是高中数学人教版选修2-1第一章常用逻辑用语第一大节第三课时内容，它的前面一节里已介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，利用逆否命题的同真同假可以将复杂命题的证明转化为简单命题，使得问题迎刃而解，培养学生多角度处理问题的能力；同时它也为下一课时充分条件与必要条件的学习奠定良好的基础，本节课在教材中起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶。

（二）教材分析

1．教材的地位和作用

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社，

课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2-1中第一章《常用逻辑用语》第一节“命题及其关系”的第三课时，它是在学生已经掌握“命题”和“四种命题”的基础上，运用所学过的知识和原理进一步研究四种命题间的相互关系以及它们之间真假的相互关系。本节课在教材中起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶，尤其是互为逆否命题的同真同假为难度较大命题的推理论证提供了很大帮助。因此，本节课在教材中的地位相当重要，不可或缺。

2．重、难点分析

重点：四种命题间的相互关系以及真假性之间的关系。

难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证。

（三）学情分析

学生在学本节课之前已经了解了命题的定义和命题真假的判断，了解了四种命题的定义，会根据原命题对应的若p则q形式，写出对应的其它三种命题。这节课要深入研究四种命题之间以及真假的相互关系。我准备让学生以小组为单位，利用《课前导学案》，根据上面的复习目标及要求以及设置的导学问题，预习本节课要学习的内容。通过学生的参与、比较、交流、总结，让学生自主完成四种命题之间真假的相互关系。但是，对利用互为逆否命题的同真同假来进行推理论证，部分学生还是有一定难度的，因此还需教师进行及时地引导和帮助。

（四）教学目标[来源:Z,xx,k.Com]

根据课标要求，结合学生的已有的知识基础，目标制定如下：

1．知识与技能

（1）会分析四种命题以及真假的相互关系。

（2）能够用互为逆否命题的“同真同假”

进行推理论证。

2．过程与方法

通过大量例子培养学生的辨析能力、提高思考问题的积极主动性。

3.情感目标

通过合作和自主探究积极参与，激发浓厚的数学学习兴趣，开阔学生的思维，培养学生分析问题与解决问题的能力。

（五）课前准备

1、导学案

a、学习目标

（1）掌握四种命题的定义。

（2）掌握四种命题的一般形式。

b、学习建议

（1）本着“数学学习不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践，自主探究与合作交流也是重要的学习方式”的课堂理念，要求学生在这节课的学习中应充分发挥主观能动性，积极参与各个问题的探究活动，由始至终在自主探究与合作交流的学习氛围中获取知识。

（2）认真研读教材6---8页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。

（3）把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本. （4）多搜集关于不等式、定义、定理等命题。

2、搜集资料

考试大纲、考试说明、教参，网上搜集相关知识及课件。

（六）教学过程

教学环节

教学内容

1.四种命题的定义

2.四种命题的表示形式

复习引入

顾，从而引入新课.

问题1：对于下列命题，你师：引导学生思考回答

这种思师生互动

老师提问，学生回答

课件展示。

设计意图

启发并引导学生回

能说出其中任意两个命题之间的相互关系如何？

师：（1）和（2）之间是什么关系？

（3）和（4）之间是什么关系？

路的引领既让学生掌握了任意两个命题之间的相互关系，又进一步加深（1）若a＝0，

则ab＝0；

生：均是互逆命题

（2）若ab＝0，则a＝0；源学科网][来师：理由是？

生：交换条件和结论

（3）若a≠0，

则ab≠0；

师：

（1）和（3）之间是什么关系？

（4）若ab≠0，则a≠0.

（2）和（4）之间是什么关系？生：了互逆命题、均是互否命题

师：理由是条件结论否定

师：（1）和（4）之间是什么关系？

（2）和（3）之间是什么关系？

生：均是互为逆否命题

师：理由是？

生：否条件写在后、否结论写在前

互否命题，互为逆否命题的理解和掌握。

例1.下列命题：

①若一个四边形的四条边师：引导学生尝试找出例1这三个命题中的互逆、互否、互为逆否命题纠反馈学生对四种命题的相关关系的掌握情不相等，则它不是正方形；

正可能出现的错误。

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)

练习1.在下列横线上，填写“互逆”“互否”“互为逆否”

(1)命题:“若q则┐p”与命题“若┐q则p”______

(2)命题:“若┐p则q”与命题“若q则┐p”______

师：请学生找出下列命题之间的互逆、互否、互为逆否关系

生：观察、思考发表自己的见解

生：独立思考，尝试找出其中的互逆、况，进一步加互否、互为逆否命题。

深和巩固这一基础知识。

深化学生对互逆、互否、互为逆否命题的理解和掌握。

(3)命题:“若┐q则p”与命题“若┐p则q”______

问题2.以“若x2－3x＋2＝0,则x＝2”为原命题,写出其逆命题,否命题与逆否命题,并判断真假

原命题：

若x2－3x＋2＝0，则x＝2；假

逆命题：

生：分小组讨论，

第一小队举例说明互逆命题的真假性都有哪些可能？

第二小队举例说明互否命题的真假性都有哪些可能？

第三小队举例说明互为逆否命题的真假性都有哪些可能？

小组合作完成，快速将答案展示指导学生通过举例子用事实说话，让所有学生心服口服。

通过小组讨论，小组分析得到最终结果，提高了学生共同协作能力。

提高了学生的思维，锻炼了学生的表达能力。

若x＝2，则x2－3x＋2＝0；到投影仪上，

真

否命题：

若x2－3x＋2≠0，则x≠2；真

逆否命题：

若x≠2，则x2－3x＋2≠0假

思考：这四种问题的真假性之间是否有什么规律？

例2.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真；

2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

3）一个命题的原命题师：提问学生关于命题真假的辨析并纠正可能出现的错误。

生：独立思考并回答问题

生：每小队再派一名学生到黑板上讲解。

反馈学生对四种命题间真假的相关关系的掌握情况

为假，它的逆命题一定为假。

4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。

练习2.如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（

）

A. 一定是假命题

B.不一定是假命题

C. 一定是真命题

D.有可能是真命题

例3．下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

练习3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

法一解：先判断原命题的真假：

因为a，x为实数，且关于师：引导学生分析如何判断一个命题的逆否命题的真假，可以从哪些角度分析？

生：甲，直接判断原命题的真假

乙，写出原命题的逆否命题

然后判断真假

通过两种思路来分析问题，让学生自己体会其中的优劣

2师：请学生根据四种命题的真假关系选择答案

生：口答

学生进一步巩固掌握互为逆否命题的同真同假

师：引导学生分析例3中各个命题的真假，并纠正可能出现的错误。

让学生学会利用等价命生：独立思考并依次回答各个问题。

题来判断命

题的真假，体会其中的优越性。

x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77解得a≥.因为a≥，

44所以a≥1，所以原命题为真．

又因为原命题与其逆否命题等价，

所以逆否命题为真．

法二：

解：

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. Δ<0 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

例4. 求证：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：

逆否命题：若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2

≠0. 若x，y中至少有一个不为老师启迪学生，共同分析思路，要证明原命题为真命题，而又不知如何下手时，可以找谁帮忙呢？

充分利用了互为逆否命题的同真同假，证明原命题困难时，可以考虑证逆否命题，培养了学生的逆向思维。

0，不妨设x≠0，

则x2＞0，所以x2+y2

＞0，

也就是说x2+y2

≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

练习4.求证:若a2-b2+2a-4b 学生思考，独立完成。

≠0,则a-b≠1。

证明:逆否命题为:若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0 a2-b2+2a-4b-3 =(a+1)2-(b+2)2-3-1+4 因为a-b=1

所以a=1+b a2-b2+2a-4b-3 =(1+b+1)2-(b+2)2

=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.

小结：

结合教学目标：

教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探体现了原命题和逆否命题的真假可以等价转化，为以后学习反证法的证明奠定了基础。

对知识进行归纳概括，体

1、这节课我们收获了那些知识？

2、这节课我们用到了那些数学思想方法？

（七）板书设计

究.

会利用互为逆否命题的同真同假推理论证。

1.1.3四种命题间的相互关系

1.四种命题间的相互关系

原、 逆、 否、 逆否

2.四种命题间真假的相互关系

互为逆否命题同真同假

（八）学生自我评价表

《四种命题间的相互关系》效果分析

评价内容

遵守课堂纪律，不影响教师教学和同学学习

自评

互评

[来源:Z+xx+k.Com]师评

学习常规带好课本及学习资料

爱护公共设施

主动收拾、整理所用物品

度

学习态

来源学科网积极动脑、动口、主动探究

学习过程中，提出自己的独立见解

积极思考，敢于提出问题

[:]

能够很好的根据教师引导，完成问题

合作与交流出色完成小组分配的任务

主动与同学合作、互助

认真倾听同学的观点和意见

学习效果最突出的表现（创新或进步）：

自评：

小组长评：

师评：

还需注意或改进的地方：

自评：

小组长评：

师评：

注：1、评价标准:认真完成为A级，完成情况较好为B级，完成情况一般为C级，完成情况不好为D级。

2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分。

3.定量评价部分总分为100分，最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值。

4.定性评价部分分为“最突出的表现（创新或进步）”、“还需注意或改进的地方”，都是针对被评者作概括性描述和建议，以帮助被评学生的改进与提高。

对评价结果的分析：采取自评、老师评价和同学评价并行，在评价者和被评价者之间，采用一定方式互相沟通，促进学生的发展和进步。其中定量评价部分已等级形式及时、全面地将结果反馈给学生本人，让学生知道存在问题和可以改进、提高的地方。其中定性评价部分自评闪光点。这样的自我评价，老师能发现和发展学生的潜能，帮助学生树立自信心，促进学生积极主动地发展，也有利于学生的创新精神的培养。自评优缺点，找到努力方向，有利于提高学习的主动性且教师还可以及时地给予针对性的指导。我尽量为他们创造强化自我潜能的学习环境，使学生了解自己的学习现状，

认真、公正地评价他人并积极发表自己的观点

按时独立完成课堂检测、探究报告

能运用所学知识解决生活中的化学问题

能提出其它的问题

发现优点、找出不足和解决问题的方法，及时自我调控，树立信心，不断地激发学习兴趣,在原有基础上有所发展。我特别鼓励、扶持学生的这种自我教育方式。

“学生相互评价”，此举的目的是给学生评价的权力和机会，重视学生评价学生的过程，有了这一过程，学生就会感到教师对他们的重视，就会因此而提高参与学习活动的内在动机。学生在对他人评价的过程中也是学习和交流的过程，在这个过程中能够更清楚地认识到自己的优势和不足。

教师“激励性”的评价，我站在学生发展的角度来评价学生，把评价定位在激励学生的进步上。特别是对学困生，哪怕学生只有点滴的成绩，都要及时肯定。激励性评价，我都力求做到有个性和有针对性，注重使评价富有人情味，尽量使每个被评价的对象获得成功的喜悦。如以“真不错！”、“有创意！”、“老师都没想到”、“有道理”等语言代替了过去的点头、“嗯”、“请坐”等冷冰冰的评价，学生表现出了前所未有的学习积极性。

通过以上的评价方案让学生感受到评价的魅力，从而喜欢评价，学会评价。

反思：此评价方案中对学生的学习技能评价不够到位，也应该把它独立出来进行多方位评价。质性评价需要教师付出更多的精力与时间，增加了教师的工作量和工作压力。为此我充分发挥了小组长和科代表的作用，很大程度上减轻了我的工作量和工作压力。其中定量评价部分由各小组组长负责统计，把结果交给科代表，科代表评出学习标兵。此过程教师要认真监督、核实。定性评价部分的自评和互评先由科代表整理、收集，把结果反馈给教师。此过程教师要认真批阅，用激励性语言做分析评价学生的优点。对其要改进的地方进行评价时要保护学生的自尊心。评出学习标兵时要关注学生之间的差异性和发展的不同需要，力求使每一个学生都得到最大限度的发展与进步。