3.1.2 导数的概念第二课时教案

导数的概念教学设计

一、教材依据

导数的概念是人教A版全日制普通高级中学教科书数学选修1-1第三章第一节的内容。

二、设计思想

教材分析：

导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

本节内容分了四部分，一是过曲线上一点的切线的斜率；二是非匀速直线运动物体的瞬时速度；三是导数的定义；四是导数的几何意义。学习切线的斜率与瞬时速度是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。

学情分析：

（1）直线的斜率；（2）物体运动的速度；（3）现有知识储备

函数的极限等

现有能力特征

具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力

对导数这一新鲜的概念具有强烈求知欲和渴望探现有情感态度

究的积极情感态度

设计理念

学生为本，重视思维发生的过程，重视数学概念的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。

三、教学目标

1、知识与技能目标：

通过两个实例的分析，经历导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，从而掌握导数的概念。

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力并领悟极限思想。

2、过程与方法目标：

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：

通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

四、教学重点

导数的概念的形成过程。

五、教学难点

对导数概念的理解。

重、难点突破措施：

1、以情感人，以理醒人

创设情境中：“二新”开题，扣人心弦；层层探究中：分三类探究，步步为营，丝丝入扣，形成概念。

2、数形结合，古今结合

传统的计算数据给学生提供了初步的感受和体验；现代的多媒体技术直观、形象展示切线、瞬时速度的形成过程，突破重难点。

3、切合实际，分层提高

利用分层训练和分层作业达到因材施教的效果。

六、教学准备

计算器、多媒体电脑、课件等。

七、教学过程

结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构导数的概念。

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1 表格2

t0时，在2t,2这段时间内

t0时，在2,2t这段时间内

h2h2t4.9t213.1tv

22tt4.9t13.1当t0.01时，v13.051；

当t0.001时，v13.095 1；

当t0.000 1时，v13.099 51；

当t0.000 01时，v13.099 951；

h2th24.9t213.1tv

2t2t4.9t13.1当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.100 49；

当t0.000 01时，v13.100 049；

当t0.000 001时，v13.099 995 1；

当t0.000 001时，v13.100 004 9；

。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。

靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2t,2上的平均速度；一、复习提问(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系ht4.9t6.5t10，那么我们就会计算任意一段的平2均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

（2）新课

3．

靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度；

4．

-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/s。

分析:t2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1m/s。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1m/s，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

首先，算出2,2t上的平均速度h2th2=4.9t13.1，接着观察当t趋近t

于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

limt0h2th213.1

t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数yfx在xx0处的瞬时变化率如何表示？

导数的定义（板书）

函数yfx在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)flim，

x0xx0x我们称它为函数yfx在xx0处的导数，记作f'x0或y'|xx0，

即f'x0=limf(x0x)f(x0)flim。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为x0xx0xh'213.1或y'|t213.1。

附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'x=limx0f(x0)f(x0x)y；

limx0(x)xf'x=limf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)y'；fx=lim；

limx0xx0(x)xx0xxx0xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0f(x)f(x0)

xx0

③求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. ff26x再求lim6

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求xx0x3x23123(x212)limlim3(x1)6

解：法一（略）；

法二：y|x1limx1x1x1x1x1（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2f(1)limlim(3x)3

x0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3；同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大所以f(2)lim约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的

增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。

四．课堂练习

21．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五、小结

1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；

2．导数就是瞬时变化率；

3．导数的计算公式：f'x0=limf(x0x)f(x0)flim。

x0xx0x4. 求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”

八、教学反思

1、“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想。

学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了学生为本的现代教育观；练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教。但在具体实施中，分寸的把握需视情况而定。

2、在难点的突破上采取了有效的分解策略。

（1）宏观上的三类探究符合学生认知规律；

（2）微观上的4步探究有效分解、突破重难点；

（3）情景贯穿始终，兴趣伴随学习；

（4）充分利用现代多媒体技术，数形结合分解难点。

3、形式和内容得到统一，具有很强的可操作性。

各类探究中，形式和内容和谐统一，教师指导及时、到位，具有很强的可操作性