3.4 生活中的优化问题举例优秀公开课教案

一、

课程题目：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

二、课程要点：

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数求导一般不超过三次).

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数求导一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数求导一般不超过三次).

3.会利用导数解决某些实际问题.

三、课程讲解

1.函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如

下关系：

如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增.

如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

如果

，那么f(x)在这个区间内为常数.

提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，

f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件

2.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其

他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的

左侧

，右侧

，则点a叫做函数y

＝f(x)的

极小值点

，f(a)叫做函数y＝f(x)的

极小值

.

函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其

他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的

左侧

，右侧

，则点b叫做函数

y＝f(x) 的

，f(b)叫做函数y＝f(x)的

.

极小值点、极大值点统称为

，极大值和极小值

统称为

.

思考与探究2：

极值点一定是最值点这句话对吗？

做一做！

2.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则

(

)

A.a＝

B.a＝1

C.a＝2

D.a≤0

5.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最

小值分别为M，m，则M－m＝

.

考点1：导数与函数的单调性

1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数f(x)的定义域.

(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根.

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的

各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把

函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.

(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定

函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)

在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或

f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子

区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增

减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以

在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给

区间的任何一个子区间.

例题1：

(2009·安徽高考)已知函数f(x)＝x－

＋a(2－lnx)，

a＞0.讨论f(x)的单调性

变式之作：

2.是否存在实数a，使f(x)在(1,2)内为单调递增函数，若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由

考点2：导数与函数的极值、最值

运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：

1.先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；

2.求方程f′(x)＝0的根；

3.检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，

么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在

这个根处取得极小值.

[特别警示]

可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同.不可导的点也可能是极值点。

例题1

(文)(2009·天津高考改编)设函数f(x)＝－

x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

在(1)的条件下，求f(x)在x∈[－1,3]上的最值.

例题2：(理)(2009·天津高考)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠

时，求.函数f(x)的单调区间与极值

在第(1)问的条件下，求f(x)在[－3,1]上的最值.

考点3：导数在实际问题中的应用

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.

例题1: (文)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝

，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)

(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；

(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.

例题2：

(理)(2009·山东高考)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数；

(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧

上是否存在

一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响

度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，

说明理由.

[考题印证]

(2009·辽宁高考)(12分)设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲

线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行.

(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当θ∈[0，

]时，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.

[自主体验]

(文)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点

(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.

(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值

(理)设函数f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a＝1时，若方程f(x)＝t在[－

,1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；

(3)证明：当m＞n＞0时，(1＋m)n＜(1＋n)m.

课堂作业：

1.函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增函数

(

)

A.(

)

B.(π，2π)

C.(

)

D.(2π，3π)

2.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大

值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是

(

)

A.－37

B.－29

C.－5

D.以上都不对

3.略

5.(2009·辽宁高考)若函数f(x)＝

在x＝1处取极值，

则a＝

.