1.2.1 充分条件与必要条件全国优秀课堂实录

湖南省平江县第七中学高二数学教案 充分条件与必要条件

教学目标

1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件；

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力； 3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育。

教学重点、难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

难点：判断命题的充分条件、必要条件

学法指导：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证；分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件

【教学过程】：

一、问题情境

提问： p:“灯亮”；q:“有电”。

判断p和q之间的关系

二、新课讲授

1、问题探究

例1、写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

22（1）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0。

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题。

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题，如何判断其真假的？

看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题。

命题“若p，则q”

为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立。换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件。

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.

2、定义得出

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p 

q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件。

通俗的讲就是：只要有条件p成立，就会有结论q成立；只有q这个前提存在，才有p成立。也就是p足以导致q，也就是说条件p充分了，q是p成立所必须具备的前提。

3、典例演练

例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ 2（1）若x=1，则x

–4x+3=0；

（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；

2（3）若x 为无理数，则x

为无理数

湖南省平江县第七中学高二数学教案

解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件

例3、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

22(1) 若x=y，则x=y。

(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc。

解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。

4、定义理解

① p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。

②充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。

③必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”

为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”

。

5、练习：

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？

(1) 若a+5是无理数，则a是无理数。

(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。

分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件，所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。

解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。

6、从集合的角度看充分条件和必要条件

例3，设集合M={x|0

解: NM，

任意一个元素在集合N中，则这个元素一定在集合M中

故“aN”“aM”，

“aM”是“aN”的必要条件

从集合的角度来理解充分条件、必要条件

p：x∈A q：x∈B 若AB，则p是q的充分条件；q是p的必要条件

练习：已知p：x>a；q；0

解析：∵p是q的充分条件

∴pq，即若x>a，就一定有0

所以a 0即可。

湖南省平江县第七中学高二数学教案 三、课堂小结

1、定义：如果已知pq，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。2、判别步骤：①

认清条件和结论。

②考察pq和非q非p的真假。

3、判别技巧：①

可先简化命题。

②

否定一个命题只要举出一个反例即可。

③

将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

四、巩固练习

1、思考题：设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？

解：由题意作出逻辑图（右图），便知，

D是A的必要条件；A是B的充分条件。

2、用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

⒈

a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

条件；

⒉

四边相等”是“四边形是正方形”的

条件；

⒊

x3”是“|x|3”的 条件；

2⒋

x-1=0”是“x-1=0”的 条件；

⒌

两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 条件；

⒍

至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

22⒎

于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；

⒏

a=2，b=3”是“a+b=5”的 条件；

⒐

a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 条件；

⒑

个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的

条件。

23、是否存在实数m,使“4x+m<0”是“x-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出m的取值范围.