小结教学设计内容推荐

立体几何中的向量方法(复习课) 【复习目标】：

1.熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，能结合平面几何知识证明或判断线、面关系。

2.能利用空间向量解决立体几何问题，特别是空间角、空间距离以及几何问题中的探索性问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

【教学重难点】：

1.正确建立空间直角坐标系，并能正确求出所需要的各个点的坐标。

2.空间向量法在立体几何中求空间的夹角和距离。

【教学过程】：

一、知识点

1.立体几何中证明平行与垂直

设直线

的方向向量为a＝(

，

，

)平面α，β的法向量分别为µ＝(

，

，

)，ν＝(

，

，

)则有：

(1)线面平行

∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 (2)线面垂直

⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ

(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv

(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0 2.立体几何中的求角

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

角

范围

求法

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cosβ|＝3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大→→小θ＝〈AB，CD〉．

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

【0，π】

cosβ＝0，π

2cosθ＝|a·b|

|a||b|a·b

|a||b||a·n|. |a||n|

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 二、运用空间向量解决立体几何问题的一般步骤

(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论. 三、例题讲解

热点一

利用向量证明平行与垂直

例1 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：

(1)OM∥平面BCF；

(2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，

1111M，0，0，O，，. 222211→→(1)OM＝0，－，－，BA＝(－1,0,0)，

22→→→→∴OM·BA＝0, ∴OM⊥BA. ∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，

→∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量，

且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为

n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．

→→1→→∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，－1，0，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)，

2→n1·DF＝0，由→n1·DM＝0.

x1－y1＋z1＝0，

得1x1－y1＝0，2

11令x1＝1，则n1＝1，，－. 22同理可得n2＝(0,1,1)．

∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.

思维升华

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

热点二

利用空间向量求空间角

例2 (2015·江苏改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1. π2

求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

解：

依题意，如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

→→因为AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0,2,0)．

→→因为PC＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2)．

设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，

→→则m·PC＝0，m·PD＝0，

x＋y－2z＝0，即2y－2z＝0.

令y＝1，解得z＝1，x＝1. 所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．

→AD·m3→从而cos〈AD，m〉＝＝，

→3|AD||m|所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为3. 3思维升华

(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．

热点三

利用空间向量求解探索性问题

存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．

例3 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．

(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；

(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

解

(1)由题意，易得DM⊥DA，DM⊥DC，DA⊥DC. 如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

1则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，

2

1→→所以NE＝(－，0，－1)，AM＝(－1,0,1)．

2设异面直线NE与AM所成角为θ，

1→→2|NE·AM|10→→则cosθ＝|cos〈NE，AM〉|＝＝＝. →→105|NE|·|AM|×22所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为10. 10(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，连接AE. →因为AN＝(0,1,1)，

→→可设AS＝λAN＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，

→1又EA＝(，－1,0)，

21→→→所以ES＝EA＋AS＝(，λ－1，λ)．

2由ES⊥平面AMN，

→→ES·AM＝0，得→→ES·AN＝0，

1－＋λ＝0，即2λ－＋λ＝0，

1112→→解得λ＝，此时AS＝(0，，)，|AS|＝. 2222经检验，当AS＝2时，ES⊥平面AMN. 22. 2故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝思维升华

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．

四：课堂总结

这节课你学习了什么内容？从中你学会什么？

课后练习

→→1.如图，点P是单位正方体ABCD—A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP·AB的值为(

)

A．0

2．如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为(

) B．1C．0或1 D．任意实数

A.3

6B.3331C.

D.

2623．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(

) A.61023B.

C.

D.

4422→→4．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是________．

5．在一直角坐标系中，已知点A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为________．

6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变．其中真命题的序号是________．

7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到

平面A1D1E的距离为______________．

8.如图所示，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.

(1)求证：EF⊥平面BCE；

(2)设线段CD，AE的中点分别为点P，M，求证：PM∥平面BCE. 9.如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，点M是AB的中点．

(1)求证：CM⊥EM；

(2)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．

10.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，点E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，点D为棱A1B1上的点．

(1)证明：DF⊥AE；

(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为明点D的位置，若不存在，说明理由．

14？若存在，说14