小结教案推荐

空间向量及其运算（小结）教学设计

紫云民族中学：张青

【一】教学目标

1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示

2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示

3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

【二】教学重难点

重点：空间向量的线性运算以及坐标表示

难点：空间向量在空间几何中的运用

【三】教学手段

多媒体教学

【四】教学过程

一、基础知识回顾

1、空间向量的有关概念

2、空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)，使p＝________.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3、空间向量的数量积及其运算律

（1）数量积及其相关概念

（2）空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. （3）空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积：a.b=

共线向量：a=mb

垂直：

夹角：

二、自测（我相信我可以）

1、在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(

)

A.垂直

B.平行

C.异面

D.相交但不垂直

2、已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. →3→1→3、O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB48→＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.

三、专题讲解

空间向量的线性运算

【例1】

如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面→→→为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→→→

(1)AP；(2)MP＋NC1.

【训练1】

(2017·上饶期中)如图，三棱锥O－ABC中，M，N分→→→别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c→→表示NM，则NM＝(

) 1A.(－a＋b＋c)

21C.(a－b＋c) 2

1B.(a＋b－c) 21D.(－a－b＋c) 2

【例2】

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)BD∥平面EFGH.

【训练2】

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点→1→→→O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC). 3→→→

(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内. 四、解题思路及方法总结

1、选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 2、首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 3.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 4.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 5.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 6.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，

一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.