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导数的应用

洪佳乐

一、教学目标

1、知识与技能：

归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区间、极值与最值。

2、过程与方法：

通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的

数学思维。

3、情感态度与价值观：

通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。

二、教学重点难点

重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，极值，最值。

难点：理解用导数研究函数单调性的实质，应用极值与最值解决问题。

三、考纲要求

①

了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次）

②

了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）

四、教学过程

（一）回顾知识，夯实基础

1.函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；

如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程________的根；

③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处

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取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的

最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值

的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的________；②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. （二）基础自测，简单应用

1. f(x)＝2x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝ex－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

①f(x)在[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 5.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(

) A.a<－1

1B.a>－1

C.a>－

e1

D.a<－

e（三）题型分类，深度剖析

题型一

利用导数研究函数的单调性

例1

已知函数f(x)＝mx3＋nx2

(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行. (1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间. 总结：利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 题型二

利用导数研究函数的极值

例2

(2010·大纲全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围. 第2页

总结：导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定注

意分析这个零点是不是函数的极值点. 题型三

利用导数求函数的最值

例3

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x). 2(1)

若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时y＝f(x)有极值，求函数f(x) 3的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值.

总结：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最

值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得. （四）变式训练，提高能力

变式训练1、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2. (1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间.

ex变式训练2、

(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数. 1＋ax24(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 11变式训练3、

(2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax. 322(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

316(2)当0

1.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. （六）作业布置

课时作业P241

五、板书设计

导数在函数中的应用

例1：……

学生板演变式训练

基础知识回顾

例2：……

……

1. ……

例3：……

……

2. ……

3.………

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