1.1.2 四种命题教案和学案内容

《1.1.3 四种命题间的相互关系》教学设计 (一)课标解读

本节课是高中数学人教版选修2-1第一章常用逻辑用语第一大节第三课时内容，它的前面一节里已介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，利用逆否命题的同真同假可以将复杂命题的证明转化为简单命题，使得问题迎刃而解，培养学生多角度处理问题的能力；同时它也为下一课时充分条件与必要条件的学习奠定良好的基础，本节课在教材中起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶。

（二）教材分析

1．教材的地位和作用

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社，

课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2-1中第一章《常用逻辑用语》第一节“命题及其关系”的第三课时，它是在学生已经掌握“命题”和“四种命题”的基础上，运用所学过的知识和原理进一步研究四种命题间的相互关系以及它们之间真假的相互关系。本节课在教材中起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶，尤其是互为逆否命题的同真同假为难度较大命题的推理论证提供了很大帮助。因此，本节课在教材中的地位相当重要，不可或缺。

2．重、难点分析

重点：四种命题间的相互关系以及真假性之间的关系。

难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证。

（三）学情分析

学生在学本节课之前已经了解了命题的定义和命题真假的判断，了解了四种命题的定义，会根据原命题对应的若p则q形式，写出对应的其它三种命题。这节课要深入研究四种命题之间以及真假的相互关系。我准备让学生以小组为单位，利用《课前导学案》，根据上面的复习目标及要求以及设置的导学问题，预习本节课要学习的内容。通过学生的参

与、比较、交流、总结，让学生自主完成四种命题之间真假的相互关系。但是，对利用互为逆否命题的同真同假来进行推理论证，部分学生还是有一定难度的，因此还需教师进行及时地引导和帮助。

（四）教学目标1．知识与技能[来源:Z,xx,k.Com]

（1）会分析四种命题以及真假的相互关系。

（2）能够用互为逆否命题的“同真同假”

进行推理论证。

2．过程与方法

通过大量例子培养学生的辨析能力、提高思考问题的积极主动性。

3.情感目标

通过合作和自主探究积极参与，激发浓厚的数学学习兴趣，开阔学生的思维，培养学生分析问题与解决问题的能力。

（五）课前准备

1、导学案

a、学习目标

（1）掌握四种命题的定义。

（2）掌握四种命题的一般形式。

b、学习建议

（1）本着“数学学习不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践，自主探究与合作交流也是重要的学习方式”的课堂理念，要求学生在这节课的学习中应充分发挥主观能动性，积极参与各个问题的探究活动，由始至终在自主探究与合作交流的学习氛围中获取知识。

（2）认真研读教材6---8页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。

（3）把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本. （4）多搜集关于不等式、定义、定理等命题。

（六）教学过程

教学环节

教学内容

1.四种命题的定义

复习引入

2.四种命题的表示形式

师生互动

老师提问，学生回答

课件展示。

设计意图

启发并引导学生回顾，从而引入新课.

问题1：对于下列命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系如何？

（1）若a＝0，

则ab＝0； （2）若ab＝0，则a＝0；[来源学科网]师：引导学生思考回答

师：（1）和（2）之间是什么关系？

（3）和（4）之间是什么关系？

生：均是互逆命题

师：理由是？

生：交换条件和结论

师：（1）和（3）之间是什么关系？

（2）和（4）之间是什么关系？生：均是互否命题

师：理由是条件结论否定

师：（1）和（4）之间是什么关系？

（2）和（3）之间是什么关系？

生：均是互为逆否命题

师：理由是？

生：否条件写在后、否结论写在前

这种思路的引领既让学生掌握了任意两个命题之间的相互关系，又进一步加深了互逆命题、互否命题，互为逆否命题的理解和掌握。

（3）若a≠0，

则ab≠0； （4）若ab≠0，则a≠0.

例1.下列命题：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边师：引导学生尝试找出例1这三个命题中的互逆、互否、互为逆否命题纠正可能出现的错误。

生：独立思考，尝试找出其中的互逆、互否、互为逆否命题。

反馈学生对四种命题的相关关系的掌握情况，进一步加深和巩固这一基础知

相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)

练习1.在下列横线上，填写“互逆”“互否”“互为逆否”

(1)命题:“若q则┐p”与命题“若┐q则p”______

(2)命题:“若┐p则q”与命题“若q则┐p”______

(3)命题:“若┐q则p”与命题“若┐p则q”______

问题2.以“若x2－3x＋2＝0,则x＝2”为原命题,写出其逆命题,否命题与逆否命题,并判断真假

原命题：

若x2－3x＋2＝0，则x＝2；假

逆命题：

若x＝2，则x2－3x＋2＝0；真

否命题：

若x2－3x＋2≠0，则x≠2；真

逆否命题：

若x≠2，则x2－3x＋2≠0假

思考：这四种问题的真假性之间是否有什么规律？

生：分小组讨论，

第一小队举例说明互逆命题的真假性都有哪些可能？

第二小队举例说明互否命题的真假性都有哪些可能？

第三小队举例说明互为逆否命题的真假性都有哪些可能？

小组合作完成，快速将答案展示到投影仪上，

生：每小队再派一名学生到黑板上讲解。

师：请学生找出下列命题之间的互逆、互否、互为逆否关系

生：观察、思考发表自己的见解

识。

深化学生对互逆、互否、互为逆否命题的理解和掌握。

指导学生通过举例子用事实说话，让所有学生心服口服。

通过小组讨论，小组分析得到最终结果，提高了学生共同协作能力。

提高了学生的思维，锻炼了学生的表达能力。

例2.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真；

2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。

4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。

练习2.如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（ ）

A. 一定是假命题 B.不一定是假命题

C. 一定是真命题 D.有可能是真命题

例3．下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

2师：提问学生关于命题真假的辨析并纠正可能出现的错误。

生：独立思考并回答问题

反馈学生对四种命题间真假的相关关系的掌握情况

师：请学生根据四种命题的真假关系选择答案

生：口答

学生进一步巩固掌握互为逆否命题的同真同假

师：引导学生分析例3中各个命题的真假，并纠正可能出现的错误。

生：独立思考并依次回答各个问题。

让学生学会利用等价命题来判断命题的真假，体会其中的优越性。

练习3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

法一解：先判断原命题的真假：

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77解得a≥.因为a≥，

44所以a≥1，所以原命题为真．

又因为原命题与其逆否命题等价，

所以逆否命题为真．

法二：

解：

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2师：引导学生分析如何判断一个命题的逆否命题的真假，可以从哪些角度分析？

生：甲，直接判断原命题的真假

乙，写出原命题的逆否命题

然后判断真假

通过两种思路来分析问题，让学生自己体会其中的优劣

－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. Δ<0 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

例4. 求证：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：

逆否命题：若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2

≠0. 若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0， 则x2＞0，所以x2+y2

＞0，

老师启迪学生，共同分析思路，要证明原命题为真命题，而又不知如何下手时，可以找谁帮忙呢？

充分利用了互为逆否命题的同真同假，证明原命题困难时，可以考虑证逆否命题，培养了学生的逆向思维。

也就是说x2+y2

≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

练习4.求证:若a2-b2+2a-4b 学生思考，独立完成。

≠0,则a-b≠1。

证明:逆否命题为:若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0 a2-b2+2a-4b-3 =(a+1)2-(b+2)2-3-1+4 因为a-b=1 所以a=1+b a2-b2+2a-4b-3 =(1+b+1)2-(b+2)2

=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题体现了原命题和逆否命题的真假可以等价转化，为以后学习反证法的证明奠定了基础。

为真命题,从而原命题也为真命题.

小结：

结合教学目标：

1、这节课我们收获了那些知识？

2、这节课我们用到了那些数学思想方法？

（七）板书设计

教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.

对知识进行归纳概括，体会利用互为逆否命题的同真同假推理论证。

1.1.3四种命题间的相互关系

1.四种命题间的相互关系

原、 逆、 否、 逆否

2.四种命题间真假的相互关系

互为逆否命题同真同假