4.5 反函数的概念优秀导入

第四轮普陀杯教师专业评比——高中数学学科决赛

4.5

反函数的概念

时间：2017年11月29日第一节

班级：曹杨二中

高一（

）班

执教：曹杨中学

蔡真逸

教学目标：

1.

通过具体实例，引出并理解反函数的概念；

2.

通过求简单函数的反函数，掌握求反函数的基本步骤；

3.

在反函数概念的探究过程中，逐步提升逆向思维能力．

教学重点：反函数的概念理解、求反函数的具体步骤．

教学难点：原函数与反函数之间的关系．

教学过程：

（一）

创设情境，引入概念：

师：2017年10月18日，党的十九大在北京隆重召开，我们在兴奋之余，不能忘记老一辈革命党人的辛苦奋斗．其中就有一批革命人与敌人开展着情报战争．

比如敌方会对重要信息数字x通过一套密码系统（假设为y2x3）加密成密码数字y，然后发出，而当我方拦截到这份密电后，我们就会对其进行解密，还原内容，从而获取重要信息．在加密过程中是已知x，通过加密法则y2x3得到y．在解密过程中，是已知y，要得到x，那解密法则是什么？

【预设1】y2x3

（遇此情况，问：如果y5，怎么一步一步算x？

预设：先减3，再除以2，再问更显然的解密法则是什么？

y3）

2y3【预设2】x（过程如图1）

2预设：x

图1 师：我们发现加密中，任意一个x通过加密法则，有唯一一个y与之对应，所以此法则是一个函数关系，一个y关于x的函数关系；那么解密法则呢？它是否为函数？为什么？

【预设】任意一个y通过解密法则，有唯一一个x与之对应，也是一个函数关系，是一个x1

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关于y的函数关系．

师：很好，解密法则也是一个函数关系，并且它是由原来加密法则变形而来的．加密、解密是互为一组相反、相逆的过程，所以我们就称函数x数．这也是我们今天所研究的主题——反函数．

【设计意图】通过密码加密、解密的实际问题，从学生的生活基础出发，让学生意识到加密、解密是一组相逆的操作过程，渗透从信息数字到密码数字“对应”及“逆对应”的过程，逐步导出反函数的概念．

（二）给出定义，剖析概念：

定义：一般地，对于函数yf(x)，设它的定义域为D，值域为A．如果对于A中任意一个值y，在D中总有一个唯一确定的x值与它对应，且满足yf(x)，这样得到的x关于y的函数叫做yf(x)的反函数，记作xf1y3是原函数y2x3的反函2（边读边作图2）

(y)．

图2 【解释】这里的“1”是数学上专指“逆”的符号，所以要读作“逆”，不是“1次方”．

问：同学们看了定义后有什么想问的问题？

（根据学生的问题，教师补充，板书归纳问题，大致预设分成以下几类问题——是什么、为什么、怎么样）

问题1：反函数是函数吗？反函数是基于哪个函数的基础上说的“反”？反函数的自变量、定义域、值域和对应法则和原函数之间什么关系？

问题2：是不是所有的函数都存在反函数？如果不是，那么怎么样的函数才存在反函数？

问题3：怎么求反函数？

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问题4：为什么研究反函数？

问题5：反函数的性质是什么？与原函数的性质有什么关系？

【设计意图】当引出概念后，顺势给出定义，为了更清晰地剖析反函数的本质概念，将习惯上的改写的描述放置后半部分，突出本质，转移难点．学生阅读定义后，反馈

疑惑，教师再进行补充问题和归纳问题，将有关反函数概念的相关问题逐步归结为“是（三）立足定义，探究概念：

什么”、“为什么”、“怎么样”等，逐步让学生了解通过定义研究新概念的切入口，培探究一：根据定义，反函数是函数吗？反函数是基于哪个函数的基础上说的“反”？反函数养学生研究、思考问题的能力．

的自变量、定义域、值域和对应法则和原函数什么关系？

【预设】反函数的本质是函数，它是基于原函数的基础上说的“反”，反函数的自变量是y，定义域是原函数的值域A，值域是原函数的定义域D，对应法则是原函数的反向（相反、相逆）的法则．

【追问】很好，反函数的本质仍是函数，只不过是以y作为自变量的函数．那么一个函数的反函数的反函数是什么？

【预设】一个函数的反函数的反函数是其原函数本身．

【点评】原函数与反函数互为反函数

【设计意图】通过探究一的探索，借助学生之前对函数的理解，通过依据反函数的定义研

究反函数的本质、反函数的三要素、与原函数的关系等问题，使学生立足定义，逐步揭示探究二：结合所学过的函数（如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等）研究是不是所反函数概念的内涵，并通过图2的图示法加深理解，初步认知反函数“是什么”的问题．

有的函数都存在反函数？如果不是，根据定义，怎么样的函数才存在反函数？

【预设】不是，如yx，当y1时，有x1两个值与之对应，不符合定义．（教师黑板上作出函数yx的图像，画一条y1的直线）

【预设1】要任取值域内的一个y只有一个x与之对应的函数．

（如此，追问：原函数本身是一个函数，任取定义域内一个x只有一个y与之对应，那么可以得到x,y怎样对应？生：x与y一一对应）

【预设2】x与y一一对应．

（如此，追问：为什么？）

【追问】虽然yx在xR上不存在反函数，但是我们可以对其加一个定义域使其在这个定义域上有反函数，你们觉得可以加什么？

3

222

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【预设】x[0,)等，只要x与y一一对应即可．

师：反函数是否存在时基于原函数x与y的对应关系，只有x与y一一对应的函数才存在反函数．

【设计意图】让学生基于已学过的函数模型（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等），根据定义，尝试自己探究是否所有的函数都具有反函数，如果不是，怎么样的函数才有反函数．在此探究过程中，让学生结合已学的函数模型，对反函数概念有一个抽象到具体的过程，并逐渐清晰反函数的存在条件，了解反函数的存在时基于原函数x与y的对应关系，加深认知反函数“是什么”的问题．

这里不谈“函数具有单调性”与“函数存在反函数”的关系，一是学生接触函数模型过少，可能很难短时间内想出反例，二是本课时仅探究根据定义所得反函数的存在条件，至于概念的深化可以放在课后作业，留有思考．

师：在探究反函数怎么求，我们先回归定义，我们习惯上用x表示自变量，y表示函数值，

所以我们一般写yf(x)的反函数xf探究三：yf(x)，xf【预设】（如图3）

111会将其形式上改写成yf(x)(xA)．

(y)，(y)，yf1(x)三者之间的关系，三者中x与y的关系？

图3 师：所以，以后我们习惯上称yf【填表】

定义域

值域

函数yf(x)

反函数yf11(x)是yf(x)的反函数．

(x)

D

A

？【预设】A

？【预设】D

【点评】这样我们就完善了原函数的定义域与值域和反函数的关系．

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【设计意图】由于习惯上的需要，将反函数进行形式上的改写，延伸反函数的定义．通

过探究三，让学生了解形式上的改写所带来的联系和变化，通过对数学符号的理解，通（四）解决实例，应用概念：

过图3，加深理解反函数与原函数的关系，逐步构建并完成反函数“是什么”的问题．

师：那么怎么求反函数呢？对应我们所列关系和所列表格，结合几个例子来看看．

例1：求下列函数的反函数：

（1）yx1(x1)

解：（1）xy1

因为x0，所以x将x与y互换，y222

y1

x1

x1（x2）

所以，函数yx1(x1)的反函数为y（学生口答，教师板书）

（若学生没有写定义域，追问：反函数求得完整吗？函数三要素都确定了吗？还要求什么？怎么求？生：还要求反函数的定义域，即求原函数的值域．

若学生写了定义域，追问：为什么要写定义域？不求行吗？怎么求？生：要确定函数的三要素，一定要求定义域，为原函数的值域）

师：归纳求反函数的方法——第一步：用y表示x；第二步：互换x,y；第三步：求原函数的值域作为反函数的定义域．

（2）yx1

解：x33y1

3

将x与y互换，y3x1

3所以，函数yx1的反函数为y（学生板演）

x1（xR）

【设计意图】基于反函数的概念构建，根据图3，就可以初步开始求给定函数的反函数．根据例1的（1），归纳并规范求反函数的相关步骤，注意反函数的定义域的求法．

例2：已知函数f(x)3x1111的反函数为yf(x)，求f()的值．

4x225

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【设计意图】基于反函数的概念构建，根据图3，就可以初步开始求给定函数的反函数．根据例1的（1），归纳并规范求反函数的相关步骤，注意反函数的定义域的求法．

例2：已知函数f(x)解一：x3x1111的反函数为yf(x)，求f()的值．

4x2212y

4y3将x与y互换，y12x

4x3所以，f

所以，f1(x)12x3(x)

4x341()0．

23x11，解得x0

解二：4x2211所以，f()0．

21师：解一立足于反函数也是函数，先求解析式再代值；解二深入定义，利用原函数与反函数的关系，解决问题，从而避免繁琐的运算．

【设计意图】通过反函数与原函数之间的关系，简化问题．通过问题，培养学生能立足于定义解决问题的意识．

（五）课堂小结，升华概念：

师：那么为什么我们要研究反函数呢？借用这次十九大的主旨——不忘初心．我们回顾一下小学和初中的学习过程，在学习完加法运算后，就学了它的逆运算减法；在学习了乘法运算后就学习了它的逆运算除法；学习了乘方运算后就学习了它的逆运算开方，所以我们喜欢研究互逆的关系，那么我们在研究完函数的正向对应法则后必然会逆向思考问题，那么研究反函数这一逆向对应法则就理所当然了，回归原点才能眺望远方．至于反函数有什么性质，它与原函数的性质之间有何关系，让我们留到下一节课再进行揭晓．

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【设计意图】根据《上海市中小学课程标准》，反函数的学习重点在于对逆对应的理解，即基于对原函数对应过程的反向理解，基于小学初中对于互为逆运算的经验积累，培养学生逆向思考的能力．

从教材的编排上看，本节内容位于对数运算后，对数运算是指数运算的逆运算，以

高等数学的观点看，运算是一个对应法则，所以此时研究原函数与反函数之间的关系是（六）课后练习，巩固概念：

对之前所学互为逆运算的总结和升华，从而解决“为什么”的问题．至于“怎么样”的1．

下列各图中，能成为某个具有反函数的函数yf(x)的图像为（

）

问题，留有疑问，勾起学生学习的好奇心的同时为下一课时打下铺垫．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：D．

2．

“函数yf(x)具有单调性”是“函数yf(x)存在反函数”的__________条件．

解：充分非必要．

3．

求函数yx2x(x0)的反函数的定义域．

解：当x0，得函数yx2x的值域为[0,)，所以函数yx2x(x0)的反函数的定义域为[0,)．

4．求下列函数的反函数：

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（1）y3x2；

（2）y（3）yx(x0)；

（4）y解：（1）x23；

xx1(x0)．

y2

3将x与y互换，yx2

3x2(xR)．

3所以，函数y3x2的反函数为y（2）x3

y将x与y互换，y所以，函数y（3）xy

23

x33的反函数为y(x0)．

xx

因为x0，所以yx

将x与y互换，yx

所以，函数yx(x0)的反函数为yx(x0)．

（4）x(y1)

将x与y互换，y(x1)

所以，函数y5．

（1）已知函数f(x)2x1(x0)的反函数为y(x1)(x1)．

2223x1(x5)，求yf1(x)的解析式．

x221（2）已知函数f(x)x2x(x1)，求yf解：（1）x(x)的解析式．

2y1

3y2x1

3x2x11,x[2,3)．

所以，f(x)3x将x与y互换，y

（2）yx2x(x1)1

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(x1)y1

因为x1，所以x1y1，即xy11

将x与y互换，yx11

所以，f12(x)x11,x[0,)．

【设计意图】第1题是针对反函数的存在条件的理解的应用．第2题是针对反函数的存在条件进行辨析．第3题是针对原函数与反函数之间的关系的理解的应用．第4题是掌

握规范反函数的求法．第5题是巩固反函数的求法，着重关注求原函数的值域．

【板书设计】

【教材分析】

本课时是上教版第四章“幂函数、指数函数和对数函数”的第五节“反函数的概念”，分两课时进行授课，着重介绍了反函数的概念，对第三章和第四章的内容起着承前启后的作用．

1.

通过对反函数的理解，加深对函数概念的理解：

通过反函数的定义，学生将了解反函数的本质也是一个函数关系，只不过它是原函数的9

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反向对应法则，并且不是所有的函数都存在反函数，只有当任取值域A中的值y，通过反向对应法则，在定义域D中有唯一一个x与之对应，此时反向对应才是函数关系，原函数才存在反函数．通过对此的理解，能加深学生对于函数概念中“唯一对应”的理解，也为之后理解反三角函数的概念打下铺垫．

2.

通过对反函数的研究，加强对逆运算的理解：

本节内容位于对数运算后，对数运算是指数运算的逆运算．以高等数学的观点看，运算是一个对应法则，所以此时研究原函数与反函数之间的关系是对之前所学互为逆运算的总结和升华，同时也为研究运算性质打开了新思路，比如在研究完三角运算后，自然就会去研究其逆运算，即反三角运算等．

3.

通过对反函数的学习，研究函数性质提供一种方法：

通过反函数的学习，可以发现反函数的图像与性质与原函数的图像与性质有着直接关系，也就是说明我们可以通过研究一个函数（或其反函数）的图像与性质来得到它的反函数（或其原函数）的图像与性质．这就为研究函数的图像与性质提供了一条新思路和新方法，不用再拘泥于使用定义法进行判断．这个想法就是之后研究对数函数的图像与性质的基本思路，也是之后研究反三角函数的图像与性质时的基本思路，所以这一节的反函数的内容就为下一节的学习提供了理论依据和方法指导．

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