6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教学设计第二课时

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）

上师大附二外

金苗苗

【教材内容】

本节课内容选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期（试用本）中第六章《三角函数》第一节.三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来,是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型,在高中数学知识体系中占有十分重要的地位.本节课作为《三角函数》开篇的第一课时,主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题,为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础. 【学情分析】

学生的基础知识扎实,课堂气氛较为活跃,但对于规范性画图等问题上有些许不足,在本节课中需继续加强.本节课将对函数定义、三角比、三角函数线等内容进行复习,要求学生有一定的知识储备. 教学设计

【教学目标】

知识与技能：

1.理解正弦函数和余弦函数的概念. 2.掌握正弦函数

y=sinx,xÎ(-¥,+¥)、余弦函数

y=cosx,xÎ(-¥,+¥)的图像. 3.会用“五点法”作出正弦函数在一个周期内的大致图像. 4.进一步渗透数形结合、转化与化归的思想方法. 5.通过类比,提高解决问题的能力. 【教学重难点】

重点：

1.正弦函数

y=sinx,xÎ(-¥,+¥)、余弦函数

y=cosx,xÎ(-¥,+¥)的图像. 2.会用五点法进行作图. 难点：将单位圆上的正弦线转化为正弦函数

y=sinx,xÎ[0,2p]的图像.（几何作图法）

【课时安排】

第1课时（总3课时）

【教学准备】

教师：学案、几何画板、直尺、投影设备

学生：直尺、铅笔

【教学过程】

一、复习回顾，引入概念

师：在上新课之前,先请同学们回答一个旧问题：我们是怎么定义函数的？

学生：（用自己的语言描述）函数：有两个变量

x,y,如果对于

x在某在实数集合

D内的每一个确定的值,按照某个对应法则

f,

y都有唯一确定的实数值与它对应,那么

y就是

x的函数,记作

y=f(x),xÎD. 师：强调数集、任意、对应法则、唯一确定等内容

师：刚刚我们回顾了函数的定义,之前学习了任意角的三角比,今天我们来学习三角函数中的正弦函数与余弦函数. 正弦函数：任意一个实数

x都对应着唯一确定的角（在弧度制中其弧度数等于这个实数

x）,而这个角又对应着唯一确定的正弦值

sinx

(cosx),这样,对任意一个实数

x都有唯一确定的值

sinx

(cosx)与它对应.按照这个对应法则所建立的函数,

表示为

y=sinx（

y=cosx）,叫做正弦函数(正弦函数),定义域为实数集

R. 【设计意图】复习函数的概念、复习实数与弧度制一一对应的关系,进一步理解

y=sinx的定义. 板书：正弦函数的理解、正弦函数

y=sinx,xÎR,余弦函数

y=cosx,xÎR

二、讲授新课，探究方法

师：对于研究一个新的函数,我们通常从它的函数图像入手,那么如何做出正弦函数的图像呢？

生：列表描点法

师：列表描点法是作函数图像的一般方法,通过大量的点我们肯定可以画出正弦函数的图像.那么,是否还有其他作图的方法？能不能不算出正弦值？我们在学习三角比的过程中,我们用了一段特殊的有向线段来表示正弦？（正弦线）

（几何画板）回顾正弦线的作法：单位圆,角a的终边与单位圆的交点

P,过点

P做

x轴垂线,交于点

M,

sina=MP.

师：在作图中,我们是否有必要作出所有角的正弦线？（利用几何画板形象地展示正弦函数的周期线）

【设计意图】为了简化作图,同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的

数学模型. （1）利用正弦线作出

y=sinx,xÎ[0,2p]的函数图像

（几何画板）展示利用单位圆中的正弦线作出正弦函数

y=sinx,xÎ[0,2p]的图像. 画单位圆、单位圆12等分（特殊角，份数越多，相应作出的图像越精确）、做正弦线、平移正弦线（横坐标为弧度制的角，纵坐标为正弦值）、连线作图

（2）利用“五点法”作出

y=sinx,xÎ[0,2p]的函数图像

师：那么，当作图的精确度要求不太高的时候,我们是否可以通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在

[0,2p]上作的图像,其中有哪几个关键点？并请说出它们的坐标. p3p生：(0,0),(,1),(p,0),(,-1),(2p,0)

22

师：（分析这五个点的特征）包括了最高点、最低点、与

x轴的交点

（板书）列表、描点、连线

x

0 p

2 p 3p

2

2p

sinx

0 1 0 -1 0 【注意】横纵坐标单位长度一致、凹凸等

【设计意图】解决问题要抓住事物的主要矛盾,这也是为了简化作图

（3）利用正弦函数的周期性作出

y=sinx,xÎR的图像

sin(x+2kp)=sinx,kÎZ,所以函数

y=sinx当图像与

y=sinx,xÎ[0,2p]的图像形状一样，只需将后者图像位置向右平移同样,函数

y=sinx当的图像形状一样，只需将后者图像位置向左平移

时的

时的图像与

y=sinx,xÎ[0,2p]这样就可以得到函数

y=sinx,xÎR的图像了.

例1：（1）作函数

y=2sinx,xÎ[0,2p]

的图像

（2）作函数

y=1-sinx,xÎ[0,2p]的图像

（1）解：“五点法”作图

（板书）列表、描点、连线

x

0 0 p

2 p 0 3p

2

-2

2p

0

2sinx

（2）解：

2 法一：列表、描点、连线

x

0 0 1 p

2 p 0 1 3p

2-1 2

2p

0 1

sinx

1-sinx

1 0

法二：通过对

y=sinx,xÎ[0,2p]的平移变换实现.

【设计意图】如何用光滑的曲线描点,在描点中应该注意图像递增递减的趋势,以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合,发挥彼此最大优势. 11例2：已知函数

y=1-sinx,xÎ[0,2p],求y<,y>时,

x的取值范围

22

11p5p解：当y=时,即1-sinx=，解得x=或x=

226

6

æp5pö11p5p\当y<时,xÎç,÷;当y>时,xÎ[0,)È(,2p]

2266è66ø

【设计意图】通过具体题目的解决,体会数形结合的思想方法.

三、自主探究，巩固提升

师：如何作出余弦函数

y=cosx,xÎR的图像呢？

法一：通过余弦线作图

法二：“五点法”作图

法三：利用第六组诱导公式sin(x+)=cosx可知,只需把

y=sinx的图像向左2

平移pp

2个单位即可.（板书、几何画板）

【设计意图】教师引导,学生自主探究,从已学的知识中提取信息并做回答. 例3：（1）作函数

y=cosx,xÎ[-p,p]的图像

1（2）作函数y=-cosx,xÎ[0,2p]的图像

2

【设计意图】通过对余弦函数“五点法”作图,感受与正弦函数“五点法”作图的不同之处,加深印象.

四、课堂小结，提炼精华

知识点：正余弦函数的定义、图像、“五点法”作图

思想方法：数形结合、转化与化归的思想方法

五、课后作业

导学练习P51~52

【板书设计】

1、定义、正弦函数

y=sinx,xÎR，p3余弦函数

y=cosx,xÎR

(0,0),(2,1),(p,0),(p2,

例1：

2、正余弦函数图像（同一直角坐标

系，不同颜色）

例2：

3、“五点法”作图

p,0)-1),(2