3.1.2 空间向量的数乘运算课堂实录【2】｜教案在线预览

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3．1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算[提出问题] ―→―→作向量AB＝a＋a＋a，CD＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．―→问题1：AB的模是a的模的几倍？提示：3倍．―→问题2：AB的方向与a的方向一致吗？提示：一致．―→―→问题3：|CD|是|a|的几倍？CD与a的方向有怎样

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所属课文：3.1.2 空间向量的数乘运算

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2022-10-05 20:30:24

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学校：浏阳市第五中学

3.1.2 空间向量的数乘运算课堂实录【2】

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关键词：3.1.2 空间向量的数…课堂实录【2】

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3．1.2 空间向量的数乘运算

空间向量的数乘运算

[提出问题] ―→―→

作向量AB＝a＋a＋a，CD＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．

―→问题1：AB的模是a的模的几倍？

提示：3倍．

―→问题2：AB的方向与a的方向一致吗？

提示：一致．

―→―→问题3：|CD|是|a|的几倍？CD与a的方向有怎样的关系？

提示：3倍，相反．

[导入新知] 定义

λ＞0 λ＜0

λ＝0

分配律

结合律

[化解疑难] 对空间向量数乘运算的理解

(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa＝0. (2)向量数乘运算满足以下运算律：

λ(μ

a)＝λμ

a，λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘

λa与向量a的方向相同

λa与向量a的方向相反

λa＝0，其方向是任意的

λ(a＋b)＝λa＋λb

λ(μa)＝(λμ)a

λa的长度是a的长度的|λ|倍

几何

意义

运算

律

共线、共面向量

[提出问题] 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．

问题1：向量a与b共线的条件是什么？

提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？

提示：一定；不一定．

问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)? 提示：不能．

[导入新知]

共线(平行)向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互共面向量

定义

相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共线(平行)向量

如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数―→―→t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直推

论

线l的方向向量，如图所示．

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

共面向量

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要―→条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB

，或对空间任意一点O来说，―→―→―→―→有OP＝OM＋xMA＋yMB

―→―→若在l上取AB＝a，则①式可化为OP

―→―→＝OA＋tAB

―→―→

[化解疑难] 对共线、共面向量的理解

(1)共面向量不具有传递性．

(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不可遗漏．

(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．

(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．

(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．

关于本教案的常见问题

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A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

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