3.1.2 导数的概念教学设计(第二课时)

导数的概念教学设计

一、

教学目标

1、

知识与技能

（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；

2. 过程与方法

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法； 3. 情态与价值观

经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

二、教学重点.难点

重点：导数的概念；

难点：导数的概念；

三、学情分析

学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．

四、教学方法

通过观察.思考.交流和讨论等.五、教学过程

新课引入

高台跳水的例子：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述运动状态？

学生回答：计算运动员在0



t



这段时间里的平均速度，

h(65)h(0)10496549vh0t教师提问：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？

学生：不是静止的，用平均速度描述运动员运动状态不能反映每个时刻的运动

教师：我们这里引进一个新概念——瞬时速度

在高台跳水运动中，平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

教师：又如何求瞬时速度呢？如何精确地刻画曲线h(t)=-4.9t2+6.5t+10在一点处的变化趋势呢？例如求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

学生：

v

hh(2t)h(2)13.14.9ttt△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内

v4.9t13.1当△t = 0.01时, v13.149当△t = 0.001时，

v13.1049当△t = 0.0001时，v

13.10049当△t = 0.00001时，v

13.100049当△t = 0.000001时，v

13.1000049……

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内

v4.9t13.1当△t = – 0.01时, v13.051当△t = – 0.001时，

v13.0951当△t = – 0.0001时，

v13.09951当△t = – 0.00001时，

v13.099951当△t = – 0.000001时，v

13.0999951……





13教师：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

v

.

1



4

.9



t

，当△

t 趋近于0时，即无论

t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近与一个确定的值

–13.1。从物理的角度看，时间间隔

|△t |无限变小时，平均速度就无限趋近于

t = 2时的瞬时速度。因此, 运动员在

t = 2 时的瞬时速度是

–13.1。

lim探究：1.运动员在某一时刻

t0 的瞬时速度怎样表示?

2.函数f (x)在

x =

x0 处的瞬时变化率怎样表示?

学生小组讨论后回答

hth(2t)h(2)

13.1t0

th(t0t)h(t0)t0t4.9(t)2(9.8t06.5)tlimt0tlim(4.9t9.8t06.5)limt09.8t06.5f(x0Δx)f(x0)



flimx0x0

x

x 称为函数

y = f (x) 在

x = x0 处的导数, 记作

f



(

x

0

)

或

y



|x



x

0

,

f(x0Δx)f(x0)

f(x)lim.即

0x0

x定义：函数

y = f (x) 在

x = x0 处的瞬时变化率是

lim

注意： (1).f(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同;f(x0)与x的具体取值无关。

2).瞬时变化率与导数是同(一概念的两个名称。由导数的定义可知, 求函数

y = f (x)的导数的一般方法:

1、求函数的改变量

ff(x0x)f(x0);f(x0x)f(x0)f2、求平均变化率

;xx3、求值

f(x0)limf.x0x典型例题：

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第

x h时，原油的温度(单位:℃)为

f (x) = x–

7x+15 ( 0≤x≤8 )。计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

2 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6).

x

ff(2)limlim(x3)3.

所以，

x0xx0

同理可得2根据导数的定义，f

(2x)f(2)4x(x)7xx3xf(6)5.

在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为–3和5。它说明在第2h附近，原油温度大约以3 ℃/ h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/ h的速率上升。

变式练习：1、计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义。

2、如果质点A按规律s



2

t

3

则在t=3s时的瞬时速度为？

3、求y=x2在x=1处的导数。