3.1.3 导数的几何意义教学设计及课堂实录

§3.1.3 导数的几何意义教案

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

一、创设情景

(一)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时变化率、导数

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、探索新知

(一)曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn(xn,f(xn))(n1n的变化趋势是什么？

图3.1-2 P即x0时,割线PPPT我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点n趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点P处的切线.

PT的斜率k有什么关系？ (2)切线PT的斜率k为多少？

问题:

(1)割线PPn的斜率kn与切线f(xn)f(x0)P时,kn无限趋近于切线PT,当点Pn沿着曲线无限接近点xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

的斜率k,即klimx0x容易知道,割线PPn的斜率是kn说明: (1)设切线的倾斜角为, 那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. (二)导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)lim说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求函数在点x0处的导数f(x0)lim③利用点斜式求切线方程. (三)导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)ylimx0x0x0f(x0x)f(x0)k

xf(x0x)f(x0)k得曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率; xf(xx)f(x).

x注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (四)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. (3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是求函数在点x0处的导数的方法之一. 三、典例分析

例1、(1)求曲线yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y3x在点(1,3)处的导数. 22[(1x)21](121)2xx2lim2

解: (1)y|x1limx0x0xx所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0. 3x23123(x212)limlim3(x1)6

(2)因为y|x1limx1x1x1x1x1所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30.

例2、如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10,根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解:

我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0,

所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, 所以,在tt2附近曲线下降,即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 例3、如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解:

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数, 从图像上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为k0.480.911.4,所以f(0.8)1.4

1.00.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t

药物浓度瞬时变化率f(t)

四、课堂练习

3'0.2 0.4 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 1.求曲线yf(x)x在点(1,1)处的切线.2.求曲线y六、布置作业：课本80页

习题3.1 A组

第3、5题.

x在点(4,2)处的切线. 五、回顾总结：1.曲线的切线及切线的斜率.2.导数的几何意义.