1.2.2 充要条件教学实录与评析

1.2.2充要条件

岑巩县第二中学

吴治德

一、教学目的

1、理解充要条件的含义

2、能判断一些简单的充要条件

让学生加深理解概念，熟悉概念,并会巧妙运用

二、教学重点和难点

四种类型条件的判别

三、授课类型新授课

四、课时安排

1课时

五、教具

多媒体

六、教学过程

1.思考:下列两题中α是β的什么条件? 1)

α:三角形中两个内角相等

β:三角形是等腰三角形

2)

α:a－b=0

β:

a = b 解:1）和2）中，α

β，且β



α,所以，α既是β的充分条件，

α又是β的必要条件。

充要条件:如果既有α

β，又有β



α，即有α

β，即α既是β的充分条件，

又是β的必要条件，则α是β的充分且必要条件，简称充要条件。

2.

思考：

已知α是β的充要条件，把“如果α，那么β”作为原命题所得的四种命题的真假如何？已知α是β的充分非必要条件呢？已知α是β的必要非充分条件呢？

解：α是β的充要条件时，四个命题都为真命题。

α是β的充分非必要条件时，原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

α是β的必要非充分条件时，逆命题和否命题为真命题，原命题和逆否命题为假命题。

3.

例题选讲: 例1：已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），

“ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的什么条件？

解：

ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为（x ＋b／2a)2=(b2－4ac)／4a2

当b2－4ac=0 时，方程右边是0，此时方程有两个等根，x1 = x2 = －

b／2a；反之，如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，由韦达定理，得x1+x2=2x1= －

b／a,

x1x2=x12=c／a

则（－

b／2a）2=c／a，即b2－4ac=0 。

所以，

“ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的充要条件。此时，我们也称当且仅当b2－4ac=0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个

相等的实数根。

例2：“x2－5x＋6=0” 是“x=2”的

（

）

（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例3：三个数x、y、z不都是负数的充要条件是

(

)

（A）

x、y、z中至少有一个是正数（B）

x、y、z都不是负数

（C）

x、y、z中只有一个是负数

（D）

x、y、z中至少有一个是非负数

例4：“x1＞0 ，且x2＞0”是“x1

＋x2＞0,且

x1 x2

＞0”的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例5：

“x1＞3，且x2＞3”是“x1

＋x2＞6且

x1 x2

＞9”的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

例6:写出“x1＞3，且x2＞3”的一个充要条件：

解：∵

x1＞3，且x2＞3

 x1 －

3

＞0，且x2 －

3

＞0



（x1 －

3）＋

（

x2 －

3

）

＞0，

且（x1 －

3）（x2 －

3

）

＞0

∴“x1＞3，且x2＞3 ”的一个充要条件是

（x1 －

3）＋

（

x2 －

3

）＞0且（x1 －

3）（x2 －

3

）＞0

例6：设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的

必要非充分条件，则D是A的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例7：设A是B的充分非必要条件，B是C的必要非充分条件，同时B是D的充分非必要条件，C是D的必要非充分条件，则C是A的(

）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

七、布置作业

创新设计练习题1-15题

八、教学反思

在引导学生形成数学概念、提炼概念中要注意贯彻“从具体到抽象”的原则，注重“体验过程的直观性、定义提炼的概括性、语言阐述的严谨性”。本节课首先给出两个

“若p（条件）,则q(结论)。”形式的命题：（1）若x>a^2+b^2 ，则 x>2ab；（2）若ab=0 ，则 a=0。从原命题的真假，引导学生分析p对q的制约程度，从而得到充分条件的概念；从逆命题的真假角度看p对q的依赖程度，从而得到必要条件的概念。再提问学生，引导学生根据上述的分析过程逐步归纳完善定义。之后，从集合之间的包含关系这个角度来阐述理解充分条件、必要条件的概念，充分挖掘出#from 本文来自高考资源网http://www.gkstk.com end#概念的内涵和外延，进一步地帮助学生对概念的理解。

二、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

数学概念形成后，通过具体例子，进一步认识概念，引导学生利用概念解决数学问题和发展概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节。此环节操作成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。本节课设置了一系列“若p,则q”的命题，通过师生互动，让学生分别判断p是q的什么条件？q是p的什么条件？在这个过程中不断强调解决这个问题的关键是先分清出条件和结论，以及突出“p是q的什么条件”和“p的什么条件是q”两种问法的区别，前者p是是条件，后者q是条件。学生通过对一系列问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，通过反例、错解等进行辨析，也进一步地帮助学生巩固了概念。