复习参考题第二课时教学设计

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[考纲传真]

(教师用书独具)1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

(对应学生用书第5页) [基础知识填充] 1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断

p q p∧q p∨q 真

真

﹁p

真

真

p 假

﹁q p∧q p∨q 假

假

假

真

真

假

p

真

假

假

真

假

假

2.全称量词和存在量词

量词名称

全称量词

假

真

真

常见量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

符号表示

∀

∃

存在量词

存在一个、至少有一个、有些、某些等

3.全称命题和特称命题

名称

形式

结构

简记

全称命题

对M中的任意一个x，有p(x)成立

∀x∈M，p(x)

特称命题

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

∃x0∈M，p(x0) 第

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否定

∃x0∈M，﹁p(x0)

[基本能力自测] ∀x∈M，﹁p(x) 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．(

) (2)命题﹁(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(

) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(

) (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(

) [解析]

(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．

(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．

(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．

[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 B

[p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为(

) A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 131D

[选项A中，4＜x0＜4且x0∈Z，不成立；选项B中，x0＝－5，与x0∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．] 24．命题：“∃x0∈R，x0－ax0＋1＜0”的否定为________．

∀x∈R，x2－ax＋1≥0

[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃2x0∈R，x0－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．] 5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是第

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________．

[－8,0]

[当a＝0时，不等式显然成立．

a＜0，当a≠0时，依题意知

2Δ＝a＋8a≤0，解得－8≤a＜0. 综上可知－8≤a≤0.]

(对应学生用书第6页)

含有逻辑联结词的命题的真假

(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是(

) A．p∧q

C．(﹁p)∧q

B．(﹁p)∨(﹁q) D．p∧(﹁q) 判断

(2)若命题“p∨q”是真命题，“﹁p为真命题”，则(

) A．p真，q真

C．p真，q假

B．p假，q真

D．p假，q假

(1)A

(2)B

[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p∧q是真命题，故选A．

(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p∨q为真命题，所以q为真命题．] [规律方法]

判断“p∨q，p∧q，﹁p”形式的命题真假的三个步骤与依据

1确定命题的构成形式；

2判断p，q的真假；

3依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，确第

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定“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题的真假. [跟踪训练]

(2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称π轴，q：2是y＝|tan x|的最小正周期，下列命题

①p∨q；②p∧q；③p；④﹁q，其中真命题有(

) 【导学号：97190013】

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

C

[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C．]

◎角度1

全称命题、特称命题的真假判断

下列命题中，真命题是(

) A．∀x∈R，x2－x－1＞0 B．

∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β

C．∃x∈R，x2－x＋1＝0 D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β

515D

[因为x2－x－1＝x－2－4≥－4，所以A是假命题．当α＝β＝0时，133有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝x－2＋4≥4，所以Cπ是假命题．当α＝β＝2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D．] ◎角度2

含有一个量词的命题的否定

命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

22全称命题、特称命题

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D

[写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．] [规律方法]

1.全称命题、特称命题的真假判断方法

1要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得px0不成立即可. 2要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使px0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题. 2.全称命题与特称命题的否定

1改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 2否定结论：对原命题的结论进行否定. π[跟踪训练]

(1)已知命题p：∃x∈0，2，使得cos x≤x，则﹁p为(

) πA．∃x∈0，2，使得cos x＞x πC．∀x∈0，2，总有cos x＞x (2)下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0

C．∀x∈R，x3＞0

B．∃x0∈R，tan x0＝3 D．∀x∈R,2x＞0 πB．∃x∈0，2，使得cos x＜x

πD．∀x∈0，2，总有cos x≤x

(1)C

(2)C

[(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x≤x”的否定是“cos x＞x”．故选C．

π(2)当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝3时，tan x＝3，故命题“∃x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R，2x＞0，故命题“∀x∈R，2x＞0”是真命题．]

由命题的真假求参数的取值范

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围

给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

[解]

当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0a＞0，或

Δ＜0，∴0≤a＜4. 当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，1∴a≤4. ∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，

∴p，q一真一假．

1∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞4，

a＜0或a≥4，1∴4＜a＜4；若p假q真，则1a≤，41为(－∞，0)∪4，4. [规律方法]

根据复合命题的真假求参数范围的步骤

1先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围. 2再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况. 3最后由2的结果求出满足条件的参数取值范围. 1[跟踪训练]

(1)(2018·太原模拟(二))若命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋x≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________.

【导学号：97190014】

2(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x＋mx＋1＞0，若p∨q为假

即a＜0.故实数a的取值范围命题，则实数m的取值范围为(

) A．m≥2

C．m≤－2或m≥2

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B．m≤－2 D．－2≤m≤2

1(1)(2，＋∞)

(2)A

[(1)由题意，知“∃x∈(0，＋∞)，x＋x＜m”是真命题，1又因为x∈(0，＋∞)，所以x＋x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．

(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2. m≥0，因此，由p，q均为假命题得

m≤－2或m≥2，即m≥2.]

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