3.4 生活中的优化问题举例课件配套优秀教案案例

3.4生活中的优化问题举例（教学设计）

东莞五中

黄可旺

教学目标：

知识与技能目标：

1.

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题；

2.

体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

过程与方法目标：

1.

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识；

2.

学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。

情感、态度与价值观目标：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．

教学过程：

（一）知识回顾

13]（课前练习）求函数yx34x4在区间

[0,

上的最大值与最小值。

3

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: ①________________；②______________；③______________________;

④_____________________.

设计意图：通过这道课前练习，明确求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤，为优化问题求最值做好铺垫。

活动：老师引导学生对答案的同时说出求函数最值的步骤。

（二）探究新知

新知：

生活中经常遇到求

、

、

__

等问题，这些问题通常称为优化问题.

反思：利用导数解决优化问题的实质是

______

.

设计意图：启迪学生思维，直接明确优化问题的概念，引导学生反思利用导数解决优化问题的实质就是用导数求函数的最值。

（三）典型例题

例1. 方形美味蛋糕店推出优惠大酬宾：30x30的正方形包装纸10元一张，四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个装蛋糕的容器，蛋糕任装，能装多少就多少！如何设计容器的高和底边长，使得容器能装蛋糕的体积最大？

30

30共同探究：如何设计能求容器的体积的最大值？

1，体积的计算公式是什么？_________________________; 2，设高为x,则底面边长可以表示为__________________________; 3，容器的体积表达式是什么？__________________________;

4，x范围是全体实数吗？如果不是，它的范围是什么？__________________; 把求容器的体积最大值的问题转化为求函数__________________的最大值问题。

设计意图：以方形蛋糕店装蛋糕的问题为例1，让学生体会到数学起源于生活，激发学生的学习兴趣，而实际问题对学生来说最难的地方是列出函数表达式，通过问题串的形式引导学生找到列出函数关系式，逐步突破难点。

活动：师生共同探究，引导学生思考，提问学生得到问题的答案，师生共同写出解答过程，强调：1、优化问题必须写出函数的定义域；2、导数为0不一定是极值点，要写出函数左右两边的单调性，确定是极大值还是极小值；3、作答。

引导学生总结出解决优化问题的步骤：1、设出变量列出函数表达式；2、确定定义域；3、利用导数求出最值；4、作答。

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

练习1、高二（12）班举行班级活动，需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右边各空1dm。如何设计每报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

小组探究：如何来表示海报的空白面积？

1，版心面积为128dm，那么版心的高和宽的关系是什么？

2，整个海报的高和宽与版心的高和宽有什么关系？

3，空白面积与整个海报的面积和版心的面积的关系是什么？

设计意图：此题为课本例1，海报版尺寸的设计问题，虽然与同学平时联系5128,x0，较为复杂的求导，所以比较紧，但从目标函数来看，S(x)2xx我把方形蛋糕店这个如何设计装最多蛋糕的问题作为例1，其函数是学生熟悉的三次函数v(x)4x3120x2900x,0x15求导，而把海报问题作为练习1，海报设计问题还可以引导学生利用基本不等式去求解，更加方便快捷。强调函数的定义域，让学生体会优化问题当中经常函数的极值就是最值。

活动：学生前后桌4人为一小组，小组探究，讨论得出问题的答案，列出函数的解析式。

提出问题：有无其他解法？

活动：老师引导学生发现函数满足基本不等式的应用，得出第二种方法。一题多解，发散学生思维的同时也得出解决这种函数表达式求最值的第二种方法

例2、.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元1/吨)之间的关系式为p＝24200－5x2，且生产x吨产品的成本为R＝50000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

1、在数学模型中，利润等于 ;2、收入等于 ; 3、利润y与产量x的函数关系式为： y= ; 4、产量x要满足的条件是 ;5、如何求利润y的最大值？

设计意图：课本的例2、利润最大化的问题，材料比较新颖，但是所选的模型——球形的饮料盒，在现实生活中基本不存在，实际上生活中最常见的饮料盒，大多数是方形和圆柱形的，因此我想能不能选择一个更适合的问题切入呢？于是我找到以贴近生活的产品利润问题作为例2，通过问题串的形式引导学生找到列出函数关系式，逐步突破难点。

活动：师生共同探究，引导学生思考，得到函数表达式。

练习2：已知某工厂生产x件产品的总成本为

C2500200x12x 要使4平均成本最低,应生产多少件产品?（平均成本=总成本/生产数量）

设计意图：巩固题型二利润、成本问题，由学生独立完成

活动：学生独立在导学案上完成，叫学生到黑板上板书，师生共同点评，及时总结，形成通法。

（四）总结提升

问题:本节课我们学习了什么知识？ 利用导数解决优化问题及其步骤

设计意图：由学生自主总结本节课的内容，使所学的知识得到升华。

（五）课后巩固

1. 某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边砌新墙，则当用料最省时的长和宽分别为（

）

A.32米，16米 B.30米，15米 C.40米，20米 D.36米，18米

2.一条长为L的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是___________________. 3、一条长为100cm的铁线截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两个正方形的长度分别为多少cm？

4、已知生产某商品q件的总成本C =100+4q，价格p与产量q的函数关系式

1p25为

q

．求产量q为何值时，利润L最大

？

8

设计意图：这4道题目都是常见的优化问题，巩固解决优化问题的方法步骤。

附板书设计

3.4.生活中优化问题举例

一．优化问题 三.题型二、求利润、成本最值问题

例2 二．题型一、求面积、体积的最值问题 例1、 步骤：