3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学内容分析

盈江县民族完全中学

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）教学设计

2018-4-16

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

盈江县民族完全中学 帕成连

教学内容及解析

【教学内容】

本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1（人教A版 2007年2月第3版）的第三章第3.2.2节第二课时，其主要内容是利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 【教学解析】

在3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）中，已经学习了基本初等函数的导数公式，能解决关于基本初等函数的求导题，对稍微复杂的式子先化简成基本初等函数，再对应基本初等函数的导数公式进行求导.而本节课是针对由几个初等函数构成的新函数，其中涉及到加、减、乘、除关系，在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法.但是如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂的，甚至是不可能的.因此，我们希望找到一些简单的函数的导数（作为基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便.本节课是前面利用导数的定义求函数的导数的优化，又为后续更深地研究导数起着至关重要的作用.所以，本节课既是前期知识的发展，又为后续知识的学习奠定基础,起着承前启后的作用.

教学目标及解析

【教学目标】

1．知识与技能

（1）掌握导数的运算法则；

（2）能综合运用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则解决一些函数的求导问题．

2．过程与方法

（1）利用小组自主学习探究出加、减求导运算法则，并能证明.而乘、除求导运算法则由老师带领学生一起得出.培养学生自主学习能力、观察、分析和归纳能力，会进行知识的迁移；

（2）通过导数运算法则的学习，进一步培养学生分析问题和灵活应用所学知识解决问题的能力．

3．情感态度与价值观

通过探索加、减求导运算法则的过程，培养学生团结合作意识、猜想证明的思想.体验数学活动充满着探索与创造，使学生在学习活动中获得成功的体验．锻炼克服困难的意志，建立自信心．

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2018-4-16 【教学目标解析】

本节课设置导学案，前置作业以复习为主，小组合作学习以问题引导教学，鼓励学生先学，教师以学定教，强调参与意识.通过新课问题的引入，提高学生的学习兴趣，以问题串的形式，逐步引导学生完成本节课的学习内容：掌握导数的运算法则，例题的处理上，以基础题为例，以灵活的题目为变式题同时学会小组合作、质疑、反思,从而学会怎么样学习数学.在课堂中要做到以学生讨论交流为主，以教师引导启发为辅，发挥学生的主观能动性.

导数的运算法则：

f(x)g(x)f(x)g(x)

（2）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（1）f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（3）(g(x)0)

（4）Cf(x)Cf(x)

2g(x)g(x)函数加、减求导运算法则由学生小组合作学习先猜想后证明得出，而函数乘、除求导运算法则直接给出，课堂上不在板书证明，感兴趣的同学下来可以利用导数的定义证明.因为本节内容重点在利用导数的运算法则求简单函数的导数. 教学重难点

【教学重点】

掌握导数的运算法则. 【教学难点】

能综合运用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则解决一些函数的求导问题．

教学问题诊断分析

学生在学习本节内容过程中，利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则对简单函数进行求导，可能会遗忘上节课所学的基本初等函数的导数公式，还可能在本节课中运用导数的运算法则的乘、除求导法则公式混淆，学起来会感到吃力.在教学过程中，上新课前先默写基本初等函数的导数公式及复习可帮助学生回忆，在课中记导数的运算法则帮助掌握公式，学好本节内容．

教学支持条件分析

通过默写，小组合作学习，PPT展示，白板展示学案等学习过程，激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题、解决问题的方法.

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2018-4-16 教学过程设计

一、基本流程

创设情境，引入新知

小组合作学习，探究新知

课堂小结

目标检测

导数的运算法则

应用新知

布置作业

二、教学情境

环节一：课前

1.教师制作导学案，提前发给学生. 2.学生预习，并完成学案中前置作业和小组合作学习的问题1到问题4. ［设计意图］以问题引导教学为“抓手”，鼓励学生先学，让学生体验在做中学的学习方法. ［师生活动］学生自主预习并独立完成前置作业，整理自己在预习中遇到的困难和困惑，以便于课堂交流. 环节二：课中

（一）检查学案

请各小组长汇报各组完成学案中前置作业和小组合作学习的问题1到问题4的情况，抽查一个学生的学案进行展示，查缺补漏，并注意完成的准确度及书写的规范程度. 前置作业

问题1：导数的物理意义及几何意义分别是什么？

导数的物理意义：运动物体在某一时刻的瞬时速度；

导数的几何意义：曲线在某一点处的切线的斜率

问题2：导函数(简称导数）的定义式是什么？

f(x)limx0f(xx)f(x)

x问题3：基本初等函数的导数公式有哪些？（注：上课默写）

0 1（.C） 5.(ax)axlna (a0)2.(x)x1 6.(ex)ex3.(sinx)cosx 7.(logax)4.(cosx)sinx 8.(lnx)1x1(a0且a1)

xlna（二）默写基本初等函数的导数公式. ［设计意图］回顾上节课的知识点，检查学生对公式的记忆，为本节课求导奠定基础.

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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）教学设计

2018-4-16 ［师生活动］学生默写，完成后，教师投影出基本初等函数的公式，学生互换作业进行批改，由组长汇报默写情况. （三）创设情境，引入新知

问题1：求函数f(x)x3,g(x)sinx,(x)3的导数. x3问题2：求函数f(x)xsinx,g(x)xsinx,(x)的导数.sinx

33［设计意图］问题1，回顾基本初等函数的导数公式应用，为后续学习奠定基础.问题2，导入新课，使学生带有问题的进行学习，吸引学生注意. ［师生活动］学生口答，教师多媒体展现问题1答案，引导学生回顾.问题2，设下疑问带领学生进入新课. （四）小组合作学习

【问题】已知f(x)x,g(x)x2.

问题1：f(x),g(x)的导数分别是什么？

f(x)(x)1 g(x)(x2)2x

问题2：试求Q(x)xx2,H(x)xx2的导数. QQ(xx)Q(x)HHxxHx解： xxxx2xx(xx)2xx2xxxxxx2  

xx 12xx 12xxQ(x)lim(12xx)12x H(x)lim12xx12xx0x0问题3：Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系？

Qxf(x)g(x) H(x)f(x)g(x)

问题4：由问题3猜想：f(x)g(x)

，f(x)g(x)

，并利用导数的定义证明. 证明：令Qxf(x)g(x)Q(x)Q(xx)Qxxxf(xx)g(xx)f(x)g(x)

xf(xx)f(x)g(xx)g(x)xxf(xx)f(x)g(xx)g(x)fxgxlimlimf(x)g(x)x0x0xx

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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）教学设计

2018-4-16 ［设计意图］问题1-4让学生通过课前独立思考，课上小组讨论整合信息.问题1-3学生根据基本初等导数进行运算，而问题4在前三问的基础上进行猜想证明，使问题由特殊到一般，更加具有理论依据. ［师生活动］学生进行小组合作交流、白板展示和质疑，教师点评，师生共同总结出导数加、减的运算法则. f(x)问题5：f(x)g(x)和分别等于什么?

g(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

(g(x)0)

2g(x)g(x)［设计意图］导数乘、除的运算法则，完善学生对导数运算法则的知识结构，为导数运算的应用提供依据。

［师生活动］教师引导学生共同参与导数乘除运算法则，并观察归纳出导数的运算法则的记忆方式，然后教师在引导归纳常数乘与导数的运算法则，接着由学生解决创设情境，引入新知的问题2，加深学生对运算法则的理解与记忆。

（五）应用新知

【例1】求下列函数的导数：

(1)yx(x2113)

；

(2)yxnex

.

xx2nx解：y（xe）解：yx1x xnexxnex

y(x3)(1)(x2)

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3x22x3 nxn1xnex［设计意图］例题的呈现完全将同学们经过探索发现的新知加以应用，将学会的知识迁移到具体题中去. ［师生活动］教师引导学生解答（1），学生独立完成（2），完成后对答案，若95%以上都对则过，若低于讲解一下. 【变式1】变式1 求下列函数的导数：

(1)y2xlnx

；

(2)yx1.

x1(x1)2解:y(2xlnx)x1x1 

2xlnx

(x1)21 2xln22 x(x1)2x1x1x1x1解：y

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2018-4-16 ［设计意图］通过变式，让学生进一步掌握导数的运算法则. ［师生活动］学生在下面独立完成，完成后对答案，若95%以上都对则过，若低于讲解一下. 【例2】已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8. (1)求a,b的值；

(2)设函数g(x)exsinxf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程. 解：(1)f(x)ax2bx3(a0) f(x)2axb f(x)2x8 a1, b8

（2）g(x)exsinxx28x3 g(x)exsinxexcosx2x8 g(0)e0sin0e0cos0208187 k-7, x0, g(0)3，即切点为（0,3） 切线方程：y37x;即7xy30［设计意图］例题2的呈现完全将同学们经过探索发现的新知进一步的加以应用，将学会的知识迁移到具体题中去.更助于鼓励学生积极思考，大胆创新培养他们的思维深刻性. ［师生活动］教师引导学生在黑板上完成，并点评做题的思路及需要注意的地方. 【变式2】求曲线yx32x在点A(1,1)处的切线方程. 解：yx32x y3x22ky|x131221

已知A（1，1） 切线方程:y11(x1),即xy20

［设计意图］通过变式，让学生进一步掌握利用导数求切线方程的方法，进一步掌握导数的几何意义. ［师生活动］学生在下面先思考后讨论再展示. （六）课堂小结

由教师提问，通过本节课的学习，你学到了什么？从而引导学生总结本节重点内容：

导数的运算法则：

f(x)g(x)f(x)g(x)

（2）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（1）f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)Cf(x)Cf(x)

(g(x)0)（3）

（4）2g(x)g(x)

［设计意图］回顾本节内容，明确利用导数的运算法则求简单函数的导数及切线方程. ［师生活动］教师引导学生完成.

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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）教学设计

2018-4-16 （七）目标检测

1.求下列函数的导数：

(1)yx2x3； (2)yelog2x

； (3)y3xsinx .

xxcosxsinx1

解：y3x22 解：yexlog2x 解：y2xxln22.

求曲线ysinxe在点(0,1)处的切线方程. x解：ysinxex，切点为（0,1） ycosxex y|x0cos0e0112 k2 y1（2x0）,即：2xy10［设计意图］检测学生通过本节课的学习是否掌握了导数的运算法则. ［师生活动］学生独立完成后，教师投影出答案，若95%以上都对则过，若低于讲解一下.

（八）布置作业

A组题和B组题是必做题， C组题是选做题.

配餐作业

A组题：

1.求下列函数的导数：

(1)y2ex； (2)y2x53x25x4； (3)y3cosx4sinx

；

(4)y2sin(2cos21).

2.已知函数f(x)138x2x，且f(x0)4，求x0. 2x2x4

B组题：

已知函数yxlnx.

1处的切线方程. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点x

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2018-4-16 C组题：

已知二次函数yax2bxc通过点(1,1)且在点(2,1)处与直线yx3相切，求a,b,c的值.

［设计意图］为学生巩固基础知识和加深对本节课内容的理解. ［师生活动］学生课后完成，交给数学课代表，再由教师批改.

（九）板书设计

3.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则（二）

一、导数的运算法则

例1.

变式1.

例2.

变式2. 1.f(x)g(x)f(x)g(x)

2.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

3.(g(x)0)

g(x)2g(x)4.Cf(x)Cf(x)

教学反思

应用基本初等函数的导数公式，能解决关于基本初等函数构成新函数的求导题，其中包含了加、减、乘、除法（导数的运算法则），熟练灵活掌握导数的四则运算法则。在教学中以自主探究为主，及时归纳运算法则并熟记，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：在例1及变式1中，选题还不够精，没有达到变式的效果；学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进；学生运算技能还需要进一步提高，尤其是含有参数的运算。

改进措施：选题一定要精，当学生分组探究问题时，老师应当尽量参与到其中，多与学生交流，多走动，及时发现学生的困难，引导学生思考问题的方向；鼓励学生大胆设问，及时对学生的问题进行引导和鼓励。

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