信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀公开课教案

几何画板下直线与椭圆的位置关系

（教学设计）

泾县二中

王兵

一、教学目标

1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；

2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；

3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；

4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.

二、重点难点

利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题. 三、教学方法 导学——讨论式，多媒体课件辅助教学. 四、教学过程

（一）设置情境 导入新课

在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x

(有时也可以转化为关于y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题.

（二）探索研究

1

问题1：

将曲线位置关系的研究的问题转化为方程根的讨论的问题，这是本节课的核心。在不同的范围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想。

2

x2y21，内一点

P(2，1)作椭圆的弦，点P恰为该弦的中点，问题2：

已知椭圆164求该弦所在直线的方程(如图)。

分析一：设l：y-1=k(x-2)交椭圆于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，

将直线方程代入椭圆方程化为

x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0.

则由韦达定理得……，故所求直线方程为x+2y-4=0. 这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，

必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体. 分析二：同上所设，因为点A、B都在椭圆上，则得

3 y l A M ·

x B O

x124y1216

①

22x24y216

②

经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：

(x1+x2) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0 可以知道式中的

x1+ x2=4，y1+y2=2，那么得4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0. 根据上式能得到什么呢？得到直线l的斜率，则……. ①、②两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！

分析三：设A(x，y)，则得

x2+4y2=16

③

又M(2，1)是AB的中点，所以B(4-x，2-y)，又点B也在椭圆上，

则得

(4-x)2+4(2-y)2=16

④

③、④两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！

③-④化得……

没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。

分析四：椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线……

由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法.

练习：

4

（三）课堂练习

《课课练》P.103的T2、T3. （四）提炼总结

1.解决椭圆与直线的位置关系的问题时，一般是将曲线问题转化为方程或方程组的问题，从而以“数”为工具解决“形”的问题，这种“数”与“形”之间的互相转换是多种数学思想的充分体现；

2.在解决有关问题时，首先要努力设法运用常规的方法，即“通性、通法”，这是学习数学的一条最重要的准则，所以必须熟练掌握有关的基础知识和基本技能，并努力做到融会贯通和灵活运用；

3.解决这类问题并不需要多么高的智商，只要基础比较扎实，再加上个人的良好的个性品质，就能做到无往而不胜. （五）作业布置

《课课练》P.103的T9、T10.

（六）板书设计

直线与椭圆

一、直线和椭圆的位置关系

问题1

……

……

二、探索研究

……

三、提炼总结

……

问题2

……

问题3

……

变式题

练习题

……

5

教学特色：

通过本节课的教学，我深刻感受到一份高质量的教学设计可以使一节课事半功倍，教师讲的轻松；学生学得愉快。而这一切都得益于新的教学理念：在民主、平等的课堂气氛中，师生互促、互动，学生集思广益，攻克一个个数学堡垒；本节课的四个问题的各种解法，完全是由学生各自提出并由集体加以调整、矫正、完善的。教者仅仅是“讨论会”秩序的维持者。良性循环形成之后，主动发言权越是放给学生，他（她）们发言之前越是深思熟虑，比如问题中的利用向量解决垂直问题由班中一位同学提出只后，问他为什么不用斜率来处理，他回答：“可以避免讨论”。令全班同学都拍掌叫好。可见：民主、平等、互促、互动的课堂是培养学生创新能力的源泉。

一、让学生的手动起来

这节课存在很大的计算量，如果让学生在课堂进行计算，就会减少思维量，减少解题的数量。如果只做分析，不求解又达不到训练的目的，同时也失去了这一部分内容的特点。为了解决这一问题，我将常规、典型的习题留作学生课前预习题。实践表明，学生很重视这次展示，做得非常认真，达到了预期的目的。学生是学习的主体，学生可以自主完成的内容要大胆放手，让学生亲自解决，从而带来问题解决的成功感。

二、让学生的情感动起来

高中数学新课程强调尊重学生的人格，鼓励学生积极参与，要求给予学生更多的亲身体验的机会，以丰富感性认识和理性认识。我让学生亲自利用实物展台将自己的求解过程讲给大家听，学生将思路和过程娓娓道来，从中体验与人分享的快乐，并调动起学生参与到课堂中的积极性。课堂上教师要让学生多说，学生想到了，如果没有机会说出来，可能凭直觉，思路还是凌乱的，还没来得及考虑它的可行性，只有有条理地说出来，可以澄清模糊的认识。在教学中要从学生实际出发，给学生创设“说”的环境，变“听众”为主人，在共思共想、互说互议的过程中，增强学生学习的自信心。数学新课程倡导学生合作交流，目的是让每个学生都动起来，形成主动学习的愿望，培养积极地参与意识。在难点探究时让学生组成讨论小组，各抒己见，弥补了数学上的差异性，鼓励学生的积极参与。教师也参与到其中，实现了生生互动，师生互动，促进了共同发展。通过合作学习，学生学会交流和分享研究的信息，创意与成果，培养了他们乐于合作的团队精神。教学过程中，有想法的

6

学生都得到了想发言的机会，学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，课堂气氛和谐、师生关系民主。

三、让学生的思维动起来

“数学是思维的体操”。思维永远是由问题开始的，设计适当的问题可激发学生的探索欲望，牵引学生的思维处于活跃状态。要提高提问的有效性，有效提问是课堂对话的开端，它能引起学生的思维、兴趣的激发一堂有实效的数学课应让学生的思维得到广度，深度的发展。这节课是直线与椭圆位置关系的复习，但仅停留在这一层面，学生的思维开阔不起来。为了促进学生思维的纵深发展，我设计了让学生类比直线与椭圆位置关系探究直线与双曲线位置关系。学生通过探究即找到了共性的方法又发现了差异的所在。在解决椭圆中点弦问题时，让学生主动去比较曾做过的双曲线的中点弦的问题。只有让学生自己去体验，感受，发现知识的发生，发展的过程，领略数学知识的联系、丰富，且富于变化的一面，才有利于学生掌握数学知识，更有利于激发学生学习数学的热情，为学生树立数学发展过程的数学思想。

四、教师的设计动起来

以往数学教学一根粉笔讲到底，缺少生动性，很难让数学课堂动起来。如今白板技术的应用，能给学生提供数学动态的演示过程。在整合直线与椭圆位置关系时，我应用白板轻松的将直线动起来。让学生切身的体会到位置关系的变化，充分体现了数形结合思想。教师对问题的设计体现于问题的呈现方式。好的问题呈现方式对问题的求解，学生思维的拓展能起到事半功倍的作用。在探究直线与双曲线位置关系的判定时，我采用了连线题的形式，将直线方程与椭圆方程，直线方程与双曲线方程分别联立后消去y得到关于x的方程，让学生区分哪个是椭圆的，哪个是双曲线的。让学生发现不同，进一步探究产生不同的原因，再去探究直线与双曲线位置关系的判定方法。在探究“点差法”求中点弦问题应注意的事项时，我设计了“找不足”的问题。让学生找错，改错，最后应用几何画板演示轨迹，让学生切身经历发现，分析，解决的过程。学习始于疑问，通过适当的问题情境，引出需要研究的数学问题，然后通过观察，思考，猜想，探究等活动，引导学生发现问题，提出问题，通过亲身实践，主动思维，积极参与，经历不断地从具体到抽象，从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌握数学基础知识，打下坚实的数学基础。

动态的数学课堂教学，给学生创设了的思维、情感发展的空间。但本节课仍存在很多不足之处和需要改进的问题。教学中能关注到学生情感变化，但安慰，鼓励

7

的语言没能跟上，在对学生进行评价时应要丰富自己的语言。应用电子技术的能力有待进一步熟练。在真正解放学生，让学生成为数学课堂的真正的主人上力度还不够。学生能总结的，能发现的，而在教学时无意中又抢了学生的角色。所以今后要进一步提高认识，在平时课堂上尽量多地放手让给学生去做、去活动、去完成，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。

附件：ppt图片版

8

9

10

11

12

13

14

15