信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计一等奖

椭圆的离心率

陈欣

教学目标：1、让学生掌握用基本的方程思想来解决离心率问题；

2、让学生在学会用公式求离心率的基础上掌握求椭圆离心率一些技巧性的解法，如构造焦点三角形，学会用通径公式，寻找图形中的等量关系等；

3、让学生懂得从椭圆原始定义出发去发现问题并解决问题；

4、使学生从这节课的学习中掌握化繁为简，转化化归的思想。

教学重难点：1、如何构造合适的焦点三角形来解决离心率问题；

2、如何找到几何图形中的等量关系列式求解；

3、构造e时方程的变形。

教学工具: 希沃多媒体辅助教学

教学过程：

一、离心率知多少

先让学生来说说对椭圆的离心率了解了多少？

教师总结如下:

1、离心率可以看成在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度，离心率越小椭圆越圆，离心率越大椭圆越扁。

cb22、e1—（）;aaeF1F2PF1PF2

3、e的范围：0

二、基础题练练手

1、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，

12则其离心率为__________。

解：

132、若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为____________。

ecOF21aBF221解：

2c2a3c1

ea3223、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为____________。

解：

cbab2c22ce22

三、巧思妙解动动脑

x2y2例1、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，点A、B在椭圆上，使四边ab形AF1F2B为正方形，求椭圆离心率e？ y

方法一：（代数法）用方程的思想解决问题，“点在椭圆上”转化为“点的坐标满足方程”，因此，可以把点B的坐标代入椭圆方程，整理出有关a,b,c的方程，联想离心率是“的结构特征，引导学生把方程合理变形成关于“c”axF1OF2ABc”结构的方程，但这种方法对学生计a算能力的要求较高，所以可以让学生记住通径长度的一半，利用这道题中正方形的边长等于2c，也等于通径的一半，列出方程求e，这种方法的计算会相对简单。

方法二：（几何法）紧扣椭圆的几何定义，引导学生连接BF1,设F1F22c，利用正方形图形特征得出BF因为B是椭圆上的点利用椭圆的定义以及离心率的公式快速122c，得出离心率的值为2-1。

注意到：其实在解决问题的过程中并不需要画出椭圆，只要画出焦点位置并知道B是椭圆上的点即可解题，避免在画图中因为不标准而影响解题，还可以提高解题的速度。

x2y2变1、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，点A在y轴上，点B在椭ab圆上，点O为椭圆的中心，使四边形AOF2B为正方形，求椭圆离心率e？

F1OF2xyAByABF1OF2x

让学生自己选择方法来求离心率，可用代数法也可用几何法求离心率。看看学生在例题的引导下会选择哪种方式来解题，能否连接BF1,设F1F22c，利用两个正方形叠加的图形特征得出BF15c，因为B是椭圆上的点利用椭圆的定义以及离心率的公式快速得出离心率的值为

程的列出。

注意到：同样是画出右图即可快速解题，不需要画出标准的椭圆。用希沃授课助手现场拍摄学生的解题过程给大家分享。

5-1若学生选择用代数解题，那就要熟悉通径长的一半便于方2，x2y2例2、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，点O为椭ab圆的中心，使OPF1为正三角形，求椭圆离心率e？

3-1

yyP

PxF1OF2xF1OF2x2y2变1、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，ab若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 3-1

x2y2变2、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，ab若椭圆恰好把正三角形的两边分成1：2，则椭圆的离心率e？7-2或7-1

2

四、课堂小结掌握牢

1、本节课复习了椭圆的离心率的相关知识；

2、学习了用代数法和几何法来解决椭圆离心率的问题；

b23、通径的一半等于 可以适当记忆。

a

五、知识迁移想一想

x2y2椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆的上顶点，B为

ab椭圆的右顶点，点P在椭圆上，点O为椭圆的中心，且PF1x轴，PO//AB, y2求椭圆离心率e？ 2

APxF1OF2B

六、熟能生巧练一练

x2y2作业：1、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作

ab正三角形，若椭圆恰好把正三角形的两边分成1：3，则椭圆的离心率e？

x2y22、椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆的上顶点，

ab

B为椭圆的右顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2//AB,求椭圆离心率e？