3.1.1 变化率问题名师教学视频（文字实录）

3.1 变化率与导数

教学目标：

1.理解平均变化率的概念; 平均变化率的几何意义; 2.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 3.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 4.会求函数在某点的导数. 教学重点：

平均变化率的概念、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

教学难点：

平均变化率的概念. 导数的概念.

教学过程：

一、创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3分析: r(V)343r

33V

43V

4(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

r(1)r(0)0.62(dm/L)

气球的平均膨胀率为10(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

r(2)r(1)0.16(dm/L)

气球的平均膨胀率为21

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

r(V2)r(V1)

V2V1h h(0.5)h(0)4.05(m/s)

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里,v21在0t0.5这段时间里,v(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子ot f(x2)f(x1)表示, x2x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 2.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf则平均变化率为

xxx2x1x思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率

探究: 计算运动员在0tff(x2)f(x1)表示什么? xx2x165这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

（三）.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”

为了表述方便,我们用lim小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. （四）.导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是: f(x0x)f(x0)flim

x0x0xx'我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y|xx0

lim即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明: (1) x可正可负。

(2) 导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; 三、典例分析

2例1 (1)求函数yx在x1处的导数. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x27x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、课堂练习

21.质点运动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度

2、

设函数f(x)可导，则limx0f(1x)f(1)3x

1f(x0h)f(x0)23、若f'(x)2,则lim

h0h五、回顾总结

1.平均变化率的概念. 2.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 3.导数的概念.

六、布置作业

P79-1、2、3 七、教学反思：本节课主要是对导数的概念的理解，从学生熟悉的两个生活问题入手，便于学生理解，利用课件更加形象地理解其定义。但整堂课的容量较大，主要是引入过久，导致学生的思考不够，变得课堂有点赶，应该删掉一个例题较好。