复习参考题教学内容概述

立体几何中的向量方法(大题) 例1

(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化. 变式：已知四棱锥P­ABCD中，如图，底面ABCD是梯形，BC

∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若直线AC与PD所成角为60°，求二面角A­PC­D的余弦值.

小结：1、掌握证明直线、平面位置关系的方法。

2、熟练掌握利用空间向量求线线角、线面角、面面角的公式及其方法。

3、能利用方程的思想，解决未知量的问题。

例2：(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形①且垂1直于底面ABCD②，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．

2(1)证明：直线CE//平面PAB (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为450，求二面角M-AB-D的余弦值。

变式：如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，E为CD上一点，且DE＝1，EC＝2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点，如图(2)．

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)能否在边AB上找到一点P，使平面ACE与平面PCF所2成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

3

小结： 1、利用空间向量解决立体几何问题的关键点：（1）规范答题；（2）计算正确。

2、对于位置探索型问题，通常是借助向量，引入参数，综合条件和结论列方程，解出参数，从而确定位置.

3、善于将空间问题转化为平面问题，结合平面图形解决空间问题更加直观. 4、折叠问题关键是搞清折叠前后的变与不变，要综合考虑折叠前后的图形。

课后练习：

1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值．

2．如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E为AD的中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上．

图(1)

图(2) (1)求证：BP⊥CE；

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

2π3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝3，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF. (1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

π4．如图，在三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝3，21BC＝2.四棱锥F-ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为点G，1且点G在AE上，点M在线段CF上，且CM＝4CF. (1)证明：直线GM∥平面DEF；

(2)求二面角M-AB-F的余弦值.