2.3.2 双曲线的几何性质优秀教案案例

2.3.2

双曲线的几何性质

姓名：刘海涛

单位：江苏省邳州第一中学

教学目标：

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．

教学重点：

双曲线的几何性质及初步运用．

教学难点：

双曲线的渐近线．

教学过程：

一、复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

二、类比联想得出性质（范围、对称性、顶点）

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格：

1

三、渐近线

双曲线的范围在以直线ybbx和yx为边界的平面区域内，那么从x，yaax2y2b的变化趋势看，双曲线221与直线yx具有怎样的关系呢？

aba根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线y曲线在第一象限的部分可写成：y

b22xaxa

a．bx的关系．双a

设Mx,y是它上面的点，设点N是直线y则yNbx

a．bx上与M有相同横坐标的点，a

设MQ是点M到直线ybQ||MN|．

x的距离，则有|Ma当x逐渐增大，并趋向于无穷大时，MN趋向于0，这说明，双曲线在射线ON的下方，并无限接近于射线ON．

2

在其他象限内也可以证明类似的情况．

我们把两条直线ybx叫做双曲线的渐近线．

abx2y2a定义：直线yx叫做双曲线221的渐近线；直线yx叫做双曲aabby2x2线221的渐近线．[来源:学科网ZXXK]

ab四、离心率

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

1．双曲线的焦距与实轴的比ec叫做双曲线的离心率，且e1．

a222bcacb22．由于，所以越大，也越大，即渐近线1e1eyx22aaaa的斜率绝对值越大．这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

五、例题讲解

x2y2例1

求双曲线1的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线43方程．

分析

由双曲线的标准方程，容易求出a,b,c，引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是yax．

b例2

已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．

x2y21的渐近线，且经过A-3,23点的双曲线例3

（1）求与双曲线916的标准方程及离心率．

x2y21有公共焦点，且过点32,2的双曲线的标准方（2）求与双曲线164

3

程．

分析

已知双曲线的渐近线，求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别

22xy设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为mmR,m0

169．六、课堂练习

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．

（1）1

6x9y144；

（2）16x9y14422222．求双曲线的标准方程：

（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

（3）离心率e2，经过点M5,3；

（4）两条渐近线的方程是y29x，经过点M,1．

32x2y23．求以椭圆1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方85程．

七、小结

双曲线的几何性质及其应用．

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