1.2 简单的逻辑连接词课件配套优秀教案设计

学习目标

1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其真假.

知识点一

“且”

思考

观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义. 答案

命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替. 梳理

(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题. 我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：

p 真

真

假

假

命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.

(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足. (3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断q 真

假

真

假

p∧q

真

假

假

假

开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q的真与假.

知识点二

“或”

思考

观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解. 答案

命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题. “或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q, 即两者中至少要有一个. 梳理

(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.

(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题. 我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：

p 真

真

假

假

命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.

(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B. (4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假. q 真

假

真

假

p∨q

真

真

真

假

类型一

含有“且”“或”命题的构成

命题角度1

简单命题与复合命题的区分

例1

指出下列命题的形式及构成它的命题. (1)向量既有大小又有方向；

(2)矩形有外接圆或有内切圆；

(3)2≥2. 解

(1)是p∧q形式命题. 其中p：向量有大小，q：向量有方向. (2)是p∨q形式命题. 其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆. (3)是p∨q形式命题. 其中p：2>2，q：2＝2. 反思与感悟

不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题. 判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题. 跟踪训练1

命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题. 答案

p∧q

命题角度2

用逻辑联结词构造新命题

例2

分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题. (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. 解

(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等. p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等. (2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. 反思与感悟

用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并. 跟踪训练2

指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q. (1)0≤2；

(2)30是5的倍数，也是6的倍数. 解

(1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中

p：0<2；q：0＝2. (2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中

p：30是5的倍数；

q：30是6的倍数.

类型二

“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断

例3

分别指出“p∨q”“p∧q”的真假. (1)p：函数y＝sin x是奇函数，q：函数y＝sin x在R上单调递增；

1(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交. 2解

(1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假. (2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真. 反思与感悟

形如p∨q，p∧q命题的真假根据真值表判定.如：

p 真

真

假

假

跟踪训练3

分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假. (1)p：3是无理数，q：π不是无理数；

(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；

(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根. 解

(1)∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假. (2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真. (3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.

类型三

已知复合命题的真假求参数范围

1例4

设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x

(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围. 解

(1)若命题p为真命题，

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q

真

真

真

假

1则ax2－x＋a>0对x∈R恒成立. 16当a＝0时，－x>0，不合题意；

a>0，当a≠0时，可得即12Δ<0，1－a<0，

a>0，4

∴a>2. 11(2)令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋. 24由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0). 若命题q为真命题，则a≥0. 由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假. 当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2. ∴满足条件的a的取值范围是[0,2]. 反思与感悟

解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情况，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想. 跟踪训练4

已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围. 解

对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，

得(ax＋2)(ax－1)＝0，

21显然a≠0，∴x＝－或x＝，

aa21∵x∈[－1,1]，故|－|≤1或||≤1，即|a|≥1. aa∴p为假时得|a|<1. 对于命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2. ∴q为假时得a≠0且a≠2. 又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，

∴a的取值范围是(－1,0)∪(0,1).

1.命题“方程x2＝4的解为x＝±2”，使用的逻辑联结词是________. 答案

或

解析

x＝±2，即x＝－2或x＝2.

2.命题“菱形的对角线垂直且互相平分”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式的命题. 答案

且

p∧q

π3.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称，则2p∧q是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

易知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题. 4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________. 1答案

[－2，) 21解析

命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a<，

2命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，

a得－≤1，解得a≥－2. 211由p∧q为真得p、q都为真，故a的取值范围为(－∞，)∩[－2，＋∞)，即为[－2，). 225.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围. 解

若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4. 设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，

若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3. 由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假. 若p假q真，则m<－3且m≠－4；

若p真q假，则m无解. 所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).

1.判断不含有逻辑联结词的命题的构成形式的关键是弄清构成它的命题的条件、结论. 2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假. (1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；

(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.

40分钟课时作业

一、填空题

1.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题. 因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题. 2.若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，

故p∧q必为假命题. 3.下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是________. ①10或15是5的倍数；

②方程x2－3x－4＝0有两个实数根；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

④长度相等且方向相同的两个向量称为相等向量. 答案

③④

解析

结合等边三角形和相等向量的概念知③④符合题意. 4.已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}.则四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有______个. 答案

2 解析

命题p为真命题，命题q为假命题，故p∨q为真命题，p∧q为假命题. 5.命题s具有“p或q”形式，已知“p且r”是真命题，那么s是________命题.(填“假、真”) 答案

真

解析

由“p且r”为真命题，可知命题p为真命题，故“p或q”为真命题. 6.命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”：________________. 答案

方向相同或相反的两个向量共线

b7.给出命题p：ax＋b>0的解为x>－，命题q：(x－a)(x－b)<0的解为a

假

解析

由题意得命题p为假命题，命题q也为假命题，

故“p∧q”为假命题.

8.已知p：x2－2x－3<0；q：答案

(－1,2) 1<0，若p且q为真，则x的取值范围是________. x－2解析

当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1

当q为真命题时，x－2<0，则x<2. 当p且q为真命题时，p和q均为真命题，

从而－1

(1,2]∪[3，＋∞) Δ>0，m2－4>0，解析

由p得即解得m>2，

－m<0，m>0，

由q得Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1

又因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题. 所以p，q一真一假. m>2，当p为真命题，q为假命题时，得

m≤1或m≥3，

即m≥3，

m≤2，当p为假命题，q为真命题时，得即1

综上，实数m的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞). 10.设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________. 1答案

(0，]∪[1，＋∞) 2解析

若p真，则00，1若q真，有⇒a>. 22Δ＝1－4a<0

1若q假，则a≤，

2又p和q有且仅有一个为真，

1∴当p真q假时，0

2当p假q真时，a≥1，

1综上所述，a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞). 2

二、解答题

11.判断下列复合命题的真假. (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅. 解

(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题. (2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题. 12.设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围. 解

若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，

a>0，则(－4)－4a<0且a>0，即解得a>2. 216－4a<0，22

若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，

22知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>(2x－＋1)max. xx2令f(x)＝2x－＋1，可知f(x)在(－∞，－1)上是增函数，所以f(x)<1，故a≥1. x又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题. a>2，若p真q假，则无解；

a<1，a≤2，若p假q真，则则1≤a≤2. a≥1，

综上，实数a的取值范围为[1,2]. 111，2时，函数f(x)＝x＋>恒13.已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈2xc成立.如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围. 解

由命题p为真知，0

15由命题q为真知，2≤x＋≤，

x21111要使x＋>恒成立，需<2，即c>，

xcc2若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

1当p真q假时，c的取值范围是0

2当p假q真时，c的取值范围是c≥1. 1综上可知，c的取值范围是0