2.2.1 椭圆的标准方程名师教学设计2

椭圆及其标准方程

教学目标：

理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系

教学重点：椭圆的定义及标准方程

教学难点：标准方程的推导

教学过程：

一、新课铺垫（引例）

师：同学们，我们上两节课学习了圆及其标准方程，今天我们将要学习一种特殊的曲线，在学习之前我们先来看大屏幕，在浩瀚的宇宙中，我们想不下想知道他们运动的轨迹是什么样的吗？下面让我们来模拟一些太阳系的行星绕太阳飞行的轨迹。（多媒体演示）

生：椭圆二、合作探究

1.师生互动

生：拿出课前准备好的道具，两人一组动手作图。

师：在这个过程中什么是不变的？（绳子长），对，鉴于用绳子操作起来比较麻烦，通过几何画板来给同学们演示一下。

画板上有固定的两点F1，F2，M三个点，现在我们保持MF1MF2不变，同学们观察M点会画出怎样的一条轨迹，留意这几个数字的变化。

2.完成定义

根据这一变化，我们给椭圆下个定义：

平面内到两个定点的F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

问：为什么这个常数要大于F1F2？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？

生：学生讨论

为了书写方便我们规定F1F2=2c，MF1MF2

=2a，再重述遍椭圆的定义

3.推导方程

师：椭圆的定义已经给出，椭圆也是一条曲线，他有没有方程呢?再回忆一下求圆方程的一般步骤。

生：回答求圆的方程的步骤

师：现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？

生：同学们各抒己见，最后得出

1

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程．

解

1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，

设两定点坐标为：

F1(-c，0)，F2(c，0)，

2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，

4)化简．

师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？

生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．

师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？

2

学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？

师：请结合图形找出方程中a、c的关系．

生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．

师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？

师：其中a与b的关系如何？为什么？

生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．

教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：

1)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；

2)请学生猜想：若把焦点建在y轴上，得到的方程形式又如何呢？

以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；

3

y2x2生：方程形式221

ab如果此处学生不能给出，教师将自行给出

师：请同学们课后进行推导验证．

师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．) 4．新知初成

师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。

师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同

定

义

图

形

MF1MF2=2a

(2a>2c>0)

方

程

x2y2

221

ab

F1c,0

F2c,0

y2x2

221

ab F10,c

F20,c

焦

点

a,b,c之间的关系

焦点位置的判断

三、典型例题

b2a2c2

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

x2y2x2y2例1.

分别求椭圆A：221与B：221的焦点。

4334解：因为4>3，所以椭圆A的焦点在x轴上

因此a4，b3

所以c22a2b2=1 4

所以A的两个焦点分别为

F11,0

F21,0

B的两个焦点分别为

F10,1

F20,1

注：1. 分母哪个大，就在哪个轴上

2.求焦点坐标就是要求c,搞清啊，a，b，c三者的关系

生;练习

求下列椭圆的焦点坐标以及焦距

x2y221

1. 210064x2y22. 221

23x2y23．221

4818例2.已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点的距离之和是10，写出椭圆的标准方程

解：

因为2c=6，2a=10

所以c=3，a=5

因为bac534

又因为焦点在x轴上

22222x2y2

所以此椭圆的标准方程为221

2516生：练习P83A.1.(1) 四、课堂小节

这节课我们学习了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，知道了如何根据已知的椭圆方程去求焦点坐标以及焦距，主要是由啊a，b，c三者关系来求c；还有如何去求椭圆的标准方程，首先要定位，然后找a，b。

五、课堂练习

检验学生的对本节课的掌握情况

1.

填空

5

x2y2椭圆221的焦点在＿＿＿轴上，焦点坐标是＿＿＿，＿＿＿。

259x2y21的焦点在＿＿＿轴上，焦点坐标是＿＿＿，＿＿＿。

椭圆229252.

写出适合下列条件的椭圆的方程

（1）

a=5，焦点坐标F13,0

F13,0

（2）

a=5，焦点坐标F10,3

F10,3

同桌互换答案判断

作业：P83

A组

6