测试教案和学案内容

人教版九年级上册数学《第二十三章

旋转》单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．下列运动属于旋转的是（

）

A．足球在草地上滚动

B．火箭升空的运动

C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆动的过程

2．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A=35°，∠BCA′=40°，则∠A′BA等于（

）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

3．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（

）

A．（4，﹣4）

B．（4，4）

C．（﹣4，﹣4）

D．（﹣4，4）

5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（

）

A．点A与点A′是对称点

C．AB∥A′B′

B．BO=B′O

D．∠ACB=∠C′A′B′

6．如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（

）

A．点B和点E关于点O对称

B．CE=BF

C．△ABC≌△DEF

D．△ABC与△DEF关于点B中心对称

7．若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b=（

）

A．5

B．﹣5

C．1

D．﹣1

8．如图，是用围棋子摆出的图案，围棋子的位置用有序数对表示，如：A点在（5，1），若再摆放一枚黑棋子，要使8枚棋子组成的图案是轴对称图形，则下列摆放错误的是（

）

A．黑（2，3）

B．黑（3，2）

C．黑（3，4）

D．黑（3，1）

9．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过平移得到的是（

）

A．

B．

C．

D．

10．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（

）

A．△ABC与△ABD不全等

B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

二．填空题（共8小题）

11．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是

（选填区域名称）

12．如图，△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，则∠BAE=

°，AE的长为

cm．

13．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了

度．

14．已知点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1），则A点坐标为

．15．在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作“柔”），OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，α]表示点P的雷达坐标，则用[ρ，则点P（﹣7，7）的雷达坐标为

．

16．点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，则m+n=

．

17．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0），在其他点位置添加一颗棋子P，O，B，P四颗棋子成为一个中心对称图形，使A，请写出棋子P的位置坐标

（写出1个即可）．

18．如图①是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个ABCD图案（含阴影）是轴对称图形，且规定沿正方形ABCD对称轴翻折能重合的图案都视为同一种，比如图②中四幅图就视为同一种，则得到不同的图案共有

种．

三．解答题（共8小题）

19．如图，△AEC绕A点顺时针旋转60°得△APB，∠PAC=20°，求∠BAE．

20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α=

90°，求AA′的长．

21．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA=13，DB=19，DC=21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长．

22．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．

（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？

解：图形A的最小旋转角是

度，它

中心对称图形．

图形B的最小旋转角是

度，它

中心对称图形．

图形C的最小旋转角是

度，它

中心对称图形．

图形D的最小旋转角是

度，它

中心对称图形．

图形E的最小旋转角是

度，它

中心对称图形．

23．如图所示的两个图形成中心对称，请你找出对称中心．

24．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．

（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为

；（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为

．（用含m，n的式子表示）

25．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，

求（1）指出旋转中心和旋转角度；

（2）求DE的长度；

（3）BE与DF的位置关系如何？请说明理由．

26．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

（Ⅰ）求∠ODC的度数；

（Ⅱ）若OB=2，OC=3，求AO的长．

人教版九年级上册数学《第二十三章

旋转》单元测试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列运动属于旋转的是（

）

A．足球在草地上滚动

B．火箭升空的运动

C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆动的过程

【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转进行分析即可．

【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是旋转，故此选项错误；

B、火箭升空的运动，是平移，故此选项错误；

C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项错误；

D、钟表的钟摆动的过程，是旋转，故此选项正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了生活中的旋转，关键是掌握旋转定义．

2．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A=35°，∠BCA′=40°，则∠A′BA等于（

）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

【分析】由题意可得：∠A=∠A'=35°，∠ABC=∠B'，BC=B'C，即可求∠B'BC=75°=∠B'=∠ABC，则可求∠A′BA的度数．

【解答】解：∵将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，

∴∠A=∠A'=35°，∠ABC=∠B'，BC=B'C

∴∠B'=∠B'BC

∵∠B'BC=∠A'+∠BCA'=35°+40°

∴∠B'BC=75°

∴∠B'=∠ABC=75°

∵∠ABA'=180°﹣∠ABC﹣∠B'BC

∴∠ABA'=30°

故选：A．

【点评】本题主要考查旋转的性质、三角形的外角性质及等边对等角的应用，熟练掌握旋转的性质得出对应角相等、对应边相等是解题的关键

3．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据旋转对称图形的概念作答．

【解答】解：A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；

B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；

C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；

D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．

4．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（

）

A．（4，﹣4）

B．（4，4）

C．（﹣4，﹣4）

D．（﹣4，4）

【分析】首先利用平移的性质得出P1（4，4），再利用旋转变换的性质可得结论；

【解答】解：∵P（﹣5，4），点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1

∴P1（4，4），

∴将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（4，﹣4），

故选：A．

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转以及平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

5．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（

）

A．点A与点A′是对称点

C．AB∥A′B′

B．BO=B′O

D．∠ACB=∠C′A′B′

【分析】根据中心对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：观察图形可知，

A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；

B、BO=B′O，故本选项正确；

C、AB∥A′B′，故本选项正确；

D、∠ACB=∠A′C′B′，故本选项错误．

故选：D．

【点评】本题考查了中心对称，熟悉中心对称的性质是解题的关键．

6．如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（

）

A．点B和点E关于点O对称

B．CE=BF

C．△ABC≌△DEF

D．△ABC与△DEF关于点B中心对称

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可知△ABC≌△DEF，再根据全等的性质可得

EC=BF，进而可得答案．

【解答】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；

B、CE=BF，说法正确；

C、△ABC≌△DEF，说法正确；

D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

7．若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b=（

）

A．5

B．﹣5

C．1

D．﹣1

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．

【解答】解：∵点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，

∴a=﹣3，b=2，

∴a+b=﹣1，

故选：D．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

8．如图，是用围棋子摆出的图案，围棋子的位置用有序数对表示，如：A点在（5，1），若再摆放一枚黑棋子，要使8枚棋子组成的图案是轴对称图形，则下列摆放错误的是（

）

A．黑（2，3）

B．黑（3，2）

C．黑（3，4）

D．黑（3，1）

【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：要使8枚棋子组成的图案是轴对称图形，则黑子可以摆放在横坐标为3的

格点上，故摆放错误的是A，

故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．

9．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过平移得到的是（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移”．

【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是：

．

故选：A．

【点评】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．

10．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（

）

A．△ABC与△ABD不全等

B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断；

【解答】解：由题意可知：AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，

满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，

故选：D．

【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

二．填空题（共8小题）

11．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是

4区

（选填区域名称）

【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．

【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，

由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，

∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，

故答案为：4区．

【点评】本题主要考查旋转变换，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方向是解题的关键．

12．如图，△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，则∠BAE=

60

°，AE的长为

2

cm．

【分析】利用周角的定义可求出∠BAE=360°﹣150°×2=60°，全等的性质可知AE=AB=2cm．

【解答】解：∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，

∴∠CAE=∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ACB=150°，

∴旋转角度是150°；

∴∠BAE=360°﹣150°×2=60°，

由旋转可知：△ABC≌△ADE，

∴AB=AD，AC=AE，又C为AD中点，

∴AC=AE=AB=×4=2cm．

故答案为：60，2．

【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

13．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了

60

度．【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求10分钟分针旋转的度数即可．

【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，

则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，

那么10分钟，分针旋转了10×6°=60°，

故答案为：60．

【点评】本题主要考查了旋转，解决本题的关键是求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数．

14．已知点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1），则A点坐标为

（4，﹣3）

．

【分析】利用旋转的性质得到点（0，﹣1）为AB的中点，利用线段中点坐标公式得到0=，1=，然后求出a、b即可得到A点坐标．

【解答】解：∵点A（a，b）绕着（0，﹣1）旋转180°得到B（﹣4，1），

∴点（0，﹣1）为AB的中点，

∴0=，1=，解得a=4，b=﹣3，

∴A点坐标为（4，﹣3）．

故答案为（4，﹣3）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

15．在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作“柔”），OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，α]表示点P的雷达坐标，则用[ρ，则点P（﹣7，7）的雷达坐标为

[7，135°] ．

【分析】先计算出点P（﹣7，7）到原点的距离，再求出点P（﹣7，7）与x轴的正半轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达坐标．

【解答】解：点P（﹣7，7）到原点的距离为7因为点P（﹣7，7）在第二象限的角平分线上，

所以点P（﹣7，7）与x轴的正半轴的夹角为135°，

所以点P（﹣7，7）的雷达坐标为[7故答案为[7，135°]．

，135°]．

，

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

16．点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，则m+n=

﹣1

．

【分析】根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”列方程求出m、n的值，然后相加计算即可得解．

【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣2）与点B（3，n+1）关于原点对称，

∴m﹣1=﹣3，

n+1=2，

解得m=﹣2，n=1，

所以，m+n=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点的对称，则横纵坐标都变成相反数．

17．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0），在其他点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子P的位置坐标

（0，1）

（写出1个即可）．

【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．

【解答】解：如图所示：点P（0，1）答案不唯一．

故答案为：（0，1）．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．

18．如图①是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂

黑后的整个ABCD图案（含阴影）是轴对称图形，且规定沿正方形ABCD对称轴翻折能重合的图案都视为同一种，比如图②中四幅图就视为同一种，则得到不同的图案共有

6

种．

【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案．

【解答】解：得到的不同图案有：

，

共6种．

故答案为：6．

【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，培养学生实际操作能力，用到了图形的旋转及轴对称的知识，需要灵活掌握．

三．解答题（共8小题）

19．如图，△AEC绕A点顺时针旋转60°得△APB，∠PAC=20°，求∠BAE．

【分析】充分运用旋转的性质，旋转前后三角形全等，即△ABP≌△ACE，根据对应角相等，三角形内角和定理，对应边的夹角为旋转角，通过计算解答题目问题．

【解答】解：根据旋转的性质可得△ABP≌△ACE，AC与AB是对应边，∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，

∵∠PAC=20°，

∴∠CAE=∠BAP=40°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=100°．

【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应角分别相等，结合三角形内角和定理求出相关的角．

20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α=

90°，求AA′的长．

【分析】根据勾股定理得AB=AA′=．

，由旋转性质可得∠A′BA=90°，A′B=AB=．继而得出【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB=．

．

），

在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，

由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=∴AA′==．

，

【点评】本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

21．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA=13，DB=19，DC=21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长．

AB=AC，【分析】先根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE=AD=13，

然后计算△DEC的周长．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，

∴AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=13，

∴△DEC的周长=DE+DC+CE=13+21+19=53．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．

22．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．

（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？

解：图形A的最小旋转角是

60

度，它

是

中心对称图形．

图形B的最小旋转角是

72

度，它

不是

中心对称图形．

图形C的最小旋转角是

72

度，它

不是

中心对称图形．

图形D的最小旋转角是

120

度，它

不是

中心对称图形．

图形E的最小旋转角是

90

度，它

是

中心对称图形．

【分析】（1）一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．

（2）一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【解答】解：（1）如图所示，

（2）图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．

图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．

图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．

图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．

图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．

故答案为：60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．

【点评】本题主要考查了中心对称图形以及旋转对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．

23．如图所示的两个图形成中心对称，请你找出对称中心．

【分析】利用对应点的连线都经过对称中心，即可解决问题．

【解答】解：点O即为所求．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题关键．

24．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．

（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为

（﹣3，1）

；

（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为

（﹣n，m）

．（用含m，n的式子表示）

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；

（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；

（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．

故答案为（﹣3，1），（﹣n，m）．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

25．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，

求（1）指出旋转中心和旋转角度；

（2）求DE的长度；

（3）BE与DF的位置关系如何？请说明理由．

【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；

（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD﹣AE计算即可得解；

（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，

即AE=AF=3，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；

可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；

（2）DE=AD﹣AE=7﹣3=4；

（3）∵∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，

∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG=90°，

∴BE⊥DF，

即BE与DF是垂直关系．

【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

26．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

（Ⅰ）求∠ODC的度数；

（Ⅱ）若OB=2，OC=3，求AO的长．

【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；

（Ⅱ）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长，再在直角△AOD中利用三角函数的定义即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，

∵∠ACB=60°，

∴∠DCO=60°，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠ODC=60°；

（Ⅱ）由旋转的性质得，AD=OB=2，

∵△OCD为等边三角形，

∴OD=OC=3，

∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=90°，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO==．

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确求得AO的长是解题的关键．