3.2.2 空间线面关系的判定教学设计(第一课时)

3．2.2

空间线面关系的判定(二)垂直关系

[学习目标]

1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．

知识点

空间垂直关系的向量表示

空间中的垂直关系

线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0

思考

1．用向量法如何证明线面垂直？

答案

证直线的方向向量与平面的法向量平行．

2．平面α上的向量a与平面β上的向量b垂直，能判断α⊥β吗？

答案

不能．

线面垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R

面面垂直

设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0

题型一

证明线线垂直问题

例1

如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC. 证明

由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B(0,0,0)，A(0，－1，3)，D(3，－1,0)，C(0,2,0)，

1331因而E(0，，)，F(，，0)，

222233→→所以EF＝(，0，－)，BC＝(0,2,0)，

22→→因此EF·BC＝0.

→→从而EF⊥BC，所以EF⊥BC. 反思与感悟

证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练1

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD. 证明

以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．

∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．

13131∴C(，，0)，E(，，)．

22442→→设D(0，y,0)，由AC⊥CD得AC·CD＝0，

2323即y＝，则D(0，，0)，

3313→∴CD＝(－，，0)．

2631→1又AE＝(，，)，

4421133→→∴AE·CD＝－×＋×＝0，

2464→→∴AE⊥CD，即AE⊥CD. 题型二

证明线面垂直问题

例2

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 证明

方法一

设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，

E(2,2,1)，F(1,1,2)．

→∴EF＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)．

→AB1＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，

→AC＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．

→→而EF·AB1＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.

→→EF·AC＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，

∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1⊂平面B1AC，AC⊂平面B1AC，

∴EF⊥平面B1AC. →→→方法二

设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，

1→→1→→→1→→→1→→则EF＝EB1＋B1F＝(BB1＋B1D1)＝(AA1＋BD)＝(AA1＋AD－AB)＝(－a＋b＋c)，

2222→→→∵

AB1＝AB＋AA1＝a＋b. →→1∴EF·AB1＝(－a＋b＋c)·(a＋b) 21＝(b2－a2＋c·a＋c·b) 21＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 2→→∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1，

同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，

∴EF⊥平面B1AC. 反思与感悟

本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．

跟踪训练2

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 证明

方法一

如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为2，

则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，

G(0,2,1)，B(2,2,0)，

D(0,0,0)，

→→→∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)，

→→→→而OA1·OB＝1－1＋0＝0，OA1·BG＝－2＋0＋2＝0. →→→→∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，

即OA1⊥OB，OA1⊥BG，

而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.

→n＝0，BG·方法二

同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则→n＝0，BD·－2x＋z＝0，∴

－2x－2y＝0.

令x＝1得z＝2，y＝－1，

∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，

→显然A1O＝(－1,1，－2)＝－n，

→∴A1O∥n，∴A1O⊥平面GBD. 题型三

证明面面垂直问题

例3

如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明

设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

111则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)，连结AC，设AC22211与BD相交于点O，连结OE，则点O的坐标为(，，0)．

221→→因为AS＝(0,0,1)，OE＝(0,0，)，

2→1→→→所以OE＝AS，所以OE∥AS. 2又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，

又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD. 反思与感悟

利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

跟踪训练3

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 证明

由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

1则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，

21→→→→故AA1＝(0,0,1)，AC＝(－2,2,0)，AC1＝(－2,2,1)，AE＝(－2,0，)．

2设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，

→AA1＝0，n1·z＝0，则即

→－2x＋2y＝0.AC＝0，n1·

令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0)．

设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，

－2a＋2b＋c＝0，→AC1＝0，n2·则即

1→－2a＋c＝0.2AE＝0，n2·令c＝4，得a＝1，b＝－1. 故n2＝(1，－1,4)．

因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，

所以n1⊥n2. 所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝________. 答案

－5 解析

∵α⊥β，∴a⊥b，

∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5. 2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案

10 解析

∵l1⊥l2，∴a·b＝0，

∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10. 3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________．(填序号) ①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) ②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) ③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) ④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 答案

①

解析

∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，

∴n1·n2＝0，故填①. 4．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为________．

答案

l⊥α

解析

∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，

∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α. 5．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________. 答案

－4 解析

∵α⊥β，∴a·b＝0，

∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.

正确应用向量方法解决空间中的垂直关系

(1)线线垂直

设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只要证明a⊥b，即a·b＝0. (2)线面垂直

①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u. ②根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：

设a、b在平面α内(或与平面α平行)且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α⇔c⊥a且c⊥b⇔a·c＝b·c＝0. (3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．

②证明两个平面的法向量互相垂直．

一、填空题

1．若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是________．

答案

－2 解析

λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7) ＝(3＋2λ，－4－λ，7)．

∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2. 2．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是________．(填序号) ①n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) ②n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) ③n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) ④n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 答案

④

解析

两个平面平行时，其法向量也平行，检验知④符合．

3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是______．

答案

－3或1 解析

∵|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4，

又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，

1∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，

2当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3. 4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为________．(填序号) ①(1，－1,1)

③(－2,1,1)

答案

③

解析

显然a与b不平行，

n＝0，a·设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则

b·n＝0，2x＋3y＋z＝0，∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，

5x＋6y＋4z＝0.②(2，－1,1) ④(－1,1，－1)

∴n＝(－2,1,1)．

15．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则l与β的关2系是________．(填序号) ①l∥β

③l⊂β

答案

②

解析

∵b＝－2a，∴a∥b，∴l⊥β. →6．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号) →→①PA⊥AB

→→③PC⊥BD

答案

④

解析

由题意知PA⊥平面ABCD，

所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，①②正确；

→→②PA⊥CD

→→④PC⊥AB

②l⊥β

④l与β斜交

又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，

故PC⊥BD，③正确．

7.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是________．(填序号) 1①(1,1，) 2②(1，2，1) ③(1,1,1) ④(2，－2,1) 答案

①

→→解析

PA＝(1,0，－2)，AB＝(－1,1,0)，

设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，

x－2＝0，x＝2，则解得∴n＝(2,2,1)．

－x＋y＝0.y＝2.

11又(1,1，)＝n，∴①正确．

228．下列命题中：

①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β⇔u·v＝0；

②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；

③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

正确命题的序号是________．

答案

①②③

解析

两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．

9．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3，1,2)，则下列各点中，在平面α内的是________．(把正确的序号都填上) ①(1，－1,1)；

3②(1,3，)；

23④(－1,3，－)．

23③(1，－3, )；

2答案

②

→→解析

设①为点B，则AB＝(－1,0，－1)，AB·n＝－3－2≠0，∴B不在α内，同理可验证②在α内，③④不在α内．

110．在平面内，直线经过点M(2,1)，若n＝(－，1)为其方向向量，则该直线的方程为________．

2答案

2x＋y－5＝0

解析

设直线上任意一点为P(x，y)，

→则MP＝(x－2，y－1)．

1x－2＝－2λ，→∴MP＝λn，则y－1＝λ.

1∴x－2＝－(y－1)，即2x＋y－5＝0. 2二、解答题

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF. 证明

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，22，0)，D(0,22，0)，P(0，0,2)．

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．

→→→∴PC＝(2,22，－2)，BF＝(－1，2，1)，EF＝(1,0,1)．

→→→→∴PC·BF＝－2＋4－2＝0，PC·EF＝2＋0－2＝0. →→→→∴PC⊥BF，PC⊥EF. ∴PC⊥BF，PC⊥EF. 又BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，

∴PC⊥平面BEF. 12.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，

则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．

→→→所以EA＝(3，1，－2)，CE＝(0,0,2)，ED＝(0,2，－1)．

分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，

→EA＝0，n1·则

→CE＝0，n1·

即3x1＋y1－2z1＝0，

2z1＝0，

y1＝－3x1，解得

z1＝0，→EA＝0，n2·

→ED＝0，n2·即

3x2＋y2－2z2＝0，x2＝3y2，解得

2y2－z2＝0，z2＝2y2.

不妨取n1＝(1，－3，0)，n2＝(3，1,2)，

因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA. 13.如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. 证明

如图所示，取BC的中点O，连结AO. 因为△ABC为正三角形，

所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

所以AO⊥平面BCC1B1. →→→取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，

A(0,0，3)，B1(1,2,0)．

→→设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，BA1＝(－1,2，3)，BD＝(－2,1,0)．

→→因为n⊥BA1，n⊥BD，

→BA1＝0，n·－x＋2y＋3z＝0，故⇒

→－2x＋y＝0，BD＝0，n·

令x＝1，则y＝2，z＝－3，

故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量，

→→→而AB1＝(1,2，－3)，所以AB1＝n，所以AB1∥n，

故AB1⊥平面A1BD.