2.4.1 抛物线的标准方程公开课教案

“抛物线及其标准方程”教学设计

【教材分析】

《抛物线及其标准方程》”是《选修2-1》第三章“圆锥曲线与方程”的2.4节内容。是在学生掌握了椭圆，双曲线相关知识的基础上引出的，平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。本课是第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，是解决实际生活中问题的有力工具之一。

【学情分析】

（1）学生已有的知识储备情况

抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.一是学生很早就认识了抛物线，二是学生有了探索圆锥曲线的基本方法和认知，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用。不管从生活实例还是从二次函数的图像是抛物线等等出发，可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。

（2）预计的学生在本节课学习中的难度及对策

①坐标系的建立

【对策】这里教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳，预设出原点在焦点、在抛物线顶点和在准线与x轴交点这三种可能的方案。

②求抛物线的方程

【对策】全班分三组完成，求出不同建系方式下的抛物线方程。通过比较，明确第二种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这方程叫做抛物线的标准方程。

③明确抛物线标准方程的四种形式

【对策】从以上推导出的一种形式的抛物线进行数形结合分析，先从形得角度出发求焦点坐标和准线方程，再从数的角度出发通过研究未知量X和Y的取值范围刻画抛物线图形，进而得出结论：一次决定对称轴，符号决定开口。最后分组口答剩余三种图形对应的方程或方程对应的图形。

④思考探究

二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢？

【对策】引导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分析，从而加深对函数的理解。

【教学理念】

《数学课程标准》明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面。要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。

让学生亲历探究发现过程，不仅是为了让学生通过多种活动去探索和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握发现、认识并理解数学的一般方法，学习科学的探究的方法。因此亲历探究发现过程，不仅仅是一种获取知识的教学手段，而本身就是数学的重要目的。

为学生自主学习创设空间。重视让学生提出猜想，树立假设。因为对培养学生的能力而言，提出猜想、树立假设比验证更重要。

除了教师对学生进行评价外，更要重视学生对自己学习活动的反思和自我评价，重视学生之间的相互评价，以培养学生的反思能力，以及根据反思的结果自觉进行自我调控的能力。

【教学目标】

①知识与技能：掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程。通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形间对照、翻译和转换能力。逐渐形成事物运动、变化、相互联系和转化的观点，学习用辩证唯物主义观点分析问题，认识问题。

②过程与方法：从生活中的数学引入，加深学生对抛物线概念的理解，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，标准方程的推导，公式的应用，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

③情感、态度与价值观：面向全体学生，创造良好平等的氛围，发挥学生的主体作用，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。

【教学重点、难点】

教学重点是：根据抛物线定义推导标准方程；

教学难点是四种形式的标准方程的由来和区分。

【教法、学法】

由于学生的数学基础普遍较薄弱，抽象、逻辑推理能力不强等特点，本节内容抛物线的定义及其标准方程和几何性质共分三个课时进行。借助PPT、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。

为了很好地突出重点，突破难点，圆满地完成本节课的教学任务，取得良好的教学效果，本节课的教学方法是，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，标准方程的推导，公式的应用。讲中有练，练中有讲，讲练结合，在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化。

在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——推导——应用”这一思维方

法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

【教学工具】

多媒体课件（《几何画板》）

【教学过程】

（1）设置情景，引发兴趣

兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。展示生活中的“抛物线”，例如投篮，灯的轴截面，能第一时间吸引同学们的眼球，集中注意力，激发了学生的学习热情。

①生活中的抛物线：动画演示实例，让学生观察形成的曲线，初步给出抛物线的物理定义：抛物线是投掷的物体在空中运动的轨迹。

动画演示1

②数学中的抛物线：二次函数。

初中我们学过了二次函数，我们已经知道二次函数的图象就是抛物线，但是抛物线的方程一定是二次函数么？带着这个问题，我们来开始研究抛物线。

（2）回忆定义，几何画板展示轨迹

（衔接）请学生起来回忆本章2.1节的圆锥曲线对抛物线的定义。

抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹。这个定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线。

【注意】

①平面内：我们研究的是平面解析几何，所以强调这个大前提；

②F不在l上：如果F在l上，那么轨迹是过点F垂直于直线l的一条直线。

（衔接）既然我们知道了抛物线的定义，那么具体图象是什么样子呢。这里我们借助几何画板来探寻它的轨迹。

..\【备课】抛物线轨迹形成过程.gsp

【板书】在黑板上绘制刚才的轨迹。

【设计意图】：抛物线的形成过程用动画演示让学生观察到由静止到运动，从孤立的点变成连续的曲线，使他们从屏幕中真正看到了“轨迹”，使学生易于理解，记忆深刻，为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础。让学生经历“从点到线”的过程，从中训练学生的归纳、直觉思维。同时，突出点的特性也为后面求轨迹方程作了“铺垫”。

（二）类比椭圆、双曲线，推导抛物线的标准方程

（衔接）从几何的角度我们得到了抛物线的图象，那么从代数角度，我们应该探求什么呢——抛物线的标准方程。

（衔接）回忆一下我们之前推导椭圆、双曲线的标准方程的步骤：

（归纳）“建系——设点——列式——化简——得到方程”

（衔接）万事开头难，这坐标系该怎么建立呢？我请一位同学说说看。……你为什么要这样设？……还有人有其它想法么？……（没人）你们看看是不是可以这样建立一个。

【板书】绘制三种坐标系设立图象。

【引导】坐标原点，那么

【注意】第三种坐标建系点是抛物线的顶点，我们也可以将它作为坐标原点，然后建立直角坐标系。

【板演】请三位同学针对上面的情况进行设点，列式化简求解出方程。

以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如图所示），则定点F(p,0)

设动点M(x,y)，由抛物线定义得：(xp)2y2x

化简得：y22pxp2(p0)

以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角l的方程为xP坐标系（如图所示），则定点F(0,0)，

设动点M(x,y)，由抛物线定义得：x2y2xP

化简得：y22pxp2(p0)

过焦点F作直线FN直线l，垂足为N。以直线FN为x轴，以直线FN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系ppxOy，如图所示，则有F(,0)，l的方程为x. 22

pp设动点M(x,y)，由定义得：(x)2y2x

22化简得：y22px(p0)

【比较】通过三种建系方式下的抛物线方程分别为：y22pxp2，y22px，不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁（不含常数项），y22pxp2。更加符合标准方程的要求。

【总结】数学的探究过程往往不是一蹰而就的，而是经历各种尝试，去探索和发现真知的过程，像这种比较的方式是尝试过程中也可以变相看成“算两次”思想的体现。

第三种建系说明说明

【建系】过焦点F作直线FN直线l，垂足为N。以直线FN为x轴，以直线FN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示。

【设点】设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则|FK|p，焦点F的坐标为ppF(,0)，准线l:x，设抛物线上任意一点M(x,y)，则

22

【列式化简】(x)2y2|xp2p2p2p2|(x)y(x)（平方）y22px

222【得到方程】因此，y22px(p0)就是“顶点在原点、焦点在x正半轴上”的抛物线的标准方程．

p【归纳】抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标为F(,0)，准线方程为2pl:x，则抛物线的标准方程为y22px(p0)；

2

（三）引导学生推理其余三种抛物线的标准方程，然后归纳

（衔接）我们刚才得到是焦点在x正半轴上的抛物线，那么焦点在在x轴的负半轴上呢？还有没有其它情况？（焦点在y轴的正、负半轴上）

【自己画，学生回答】

【在x轴的负半轴上强调对称性】

【焦点在y轴的正、负半轴上强调x,y互换】

如果抛物线的焦点在x轴的负半轴上，焦点坐标为F(l:xp，则抛物线的标准方程为y22px(p0)；

2p,0)，准线方程为2p如果抛物线的焦点在y轴的正半轴上，焦点坐标为F(0,)，准线方程为2pl:y，则抛物线的标准方程为x22py(p0)；

2p如果抛物线的焦点在y轴的负半轴上，焦点坐标为F(0,)，准线方程为2pl:y，则抛物线的标准方程为x22py(p0)。

2【归纳】

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y22px(p0)

pF(,0)

2l:xp

2

y22px(p0)

F(p,0)

2

l:x

p

2x2py(p0)

2pF(0,)

2

l:y

p

2x22py(p0)

pF(0,)

2l:yp

2归纳出：

①二次在左，一次在右

②一次定轴（一次项是谁，焦点在那个轴）

③系数符号定向（这里焦点坐标正负与标准方程一次项系数正负保持一致，与准线正负相反）

ppp④P是焦点到准线的距离，l:y，F(0,)分别是，标准方程里面是2P，222注意这三者的倍数关系。

【设计意图】：

教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。

在其他三种坐标系下抛物线的方程，不必给学生详细推导，也不必画出其他三种标准坐标系，但是要让学生辨认焦点在x轴的正半轴（或负半轴）上，抛物线的标准方程是y22px（或y22px）；焦点在y轴的正半轴（或负半轴）上，抛物线的标准方程是x22py（或x22py）。

（四）概念辨析

【提问】初中我们学习了二次函数，抛物线和二次函数的概念有交叉点，但是也有本质区别，你们现在能分清抛物线和二次函数的区别么？找个人回答。

【回答】二次函数的图象一定是抛物线，但抛物线的方程不一定是二次函数。

（五）例题分析【注意归纳，总结步骤】

例1：已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且焦点到准线的的距离为4，写出抛物线的标准方程。

【直接法】

【答】由于p4，且焦点在x轴的正半轴上，因此抛物线的标准方程是y28x

例2：抛物线的标准方程是y24x，求它的焦点坐标和准线方程。

【直接法】

【答】一次定轴，焦点在x轴；焦点(1,0)，准线为x1

变式1：求下列抛物线6x5y20的焦点坐标和准线方程。

【直接法】

6【答】先变成标准：y2x，（一次定轴）焦点在x轴；焦点(1,0)，准线为x1

51变式2：已知抛物线的焦点是F(,0)，求抛物线的标准方程。

4【直接法】

p1【答】焦点在x轴正半轴上，设y22px，于是有，2p1，所以抛物线的24标准方程为y2x。

例3：求经过点(2,4)的抛物线的标准方程

【待定系数法】

点(2,4)在第三象限，所以抛物线开口向下或向左，所以设标准方程为将(2,4)代入，得2p18,2p21，y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，所求抛物线方程为y28x或x2y。

（六）运用思维导图帮助学生学会归纳提升

【这里我们】

然后借助思维导图帮助理清整堂课的框架，引导同学建构自己对课堂的理解。

（七）课后作业

略。