2.5 圆锥曲线的统一定义优质公开课教案

2017-2018学年度第一学期《高中数学选修2-1》学案

课题： 2.5 圆锥曲线的统一定义

【学习目标】1. 了解圆锥曲线的统一定义. 2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方

程的方法。

【学习重点】圆锥曲线的统一定义。

【学习难点】圆锥曲线统一定义的灵活应用. 【学习过程】

【组内研学】

一、温故知新

1.椭圆的定义

2.双曲线的定义

3.抛物线的定义

二、建构数学

探究点1：在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子(xc)2y2cacxa(xc)y,将其变形为,你能解释这个式子的几何意义a2axc222吗? a2c例1 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0),ca 求点P的轨迹.

结论:

所以点P的轨迹是焦点为(c,0),(c,0),长轴、短轴分别为2a、2b的椭圆。这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到直线（lF不在l上）的距离的比。

探究点2 若例1中的条件：(a>c>0)变为(c>a>0)呢?

总结:

圆锥曲线可以统一定义为平面内到一定点F 与到一条定直线l

的距离之比为常数

e

的点的轨迹:( 点F 不在直线l 上）

1

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当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆

当

e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当

e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 其中e是圆锥曲线的离心率；定点F是圆锥曲线的焦点；定直线l是圆锥曲线的准线。

探究点3：根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线. 对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,与焦点F1(c,0)对应的准线 a2a2 方程为x；与焦点F2(c,0)对应的准线方程为x。

ccy2x2y2x2思考：椭圆221(ab0)和双曲线221(a0,b0)的准线方程是什么?

abab标准方程

x2y21

a2b2(ab0)y2x2212

ab(ab0)x2y21

a2b2(a0,b0)y2x2212

ab(a0,b0)图象

焦点坐标

准线方程

练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程

(1)x22y24

(2)2x24y21

(3)x22y21

(4)2y2x24

2

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(5)x2y0

(6)y22x0

三、数学运用

x2y21上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离. 例2 ：已知双曲线6436 法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得所以d1PF224

e|PF2|e d法二:设点P到左准线的距离为d14c5a8,b6,c10,eda4

4562a226464d14 又55c1052a25664P到右准线的距离为d24c55练习：

1、动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线 1x2y21 。2、中心在原点,准线方程为x4 ,离心率为

的椭圆方程是  2433、. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是y212x

【当堂检测】

1.

已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中心到准线距离是43

32、设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为3

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