2.2.1 椭圆的标准方程特级教师教学实录

3．1．1椭圆及其标准方程（选修2-1）

教学目的：

1．理解椭圆的定义

明确焦点、焦距的概念

2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程

3．能由椭圆定义推导椭圆的方程

4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

教学重点：椭圆的定义和标准方程

教学难点：椭圆标准方程的推导

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标

椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的

作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点

同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点

学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识

但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受

所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象

圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础

教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用

方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位

通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础

根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求

彗星太阳教学过程：

一、复习引入： 1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

2.复习求轨迹方程的基本步骤：

3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在

画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉

近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆

分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

答：两个定点，绳长

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

二、讲解新课：

1

椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫PF1F2

作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定

（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）

由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）. 则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）

PPPF1PF22a

又PF1(xc)y，

22yPF1OF2

(xc)2y2(xc)2y22a，

x化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

由定义2a2c,a2c20

令a2c2b2代入，得 b2x2a2y2a2b2，

x2y2两边同除ab得 221

ab22此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a2c2b2

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成x2y2F1(0,c),F2(0,c),只要将方程221中的x,y调换，abyPF2OF1即可得

x

y2x221，也是椭圆的标准方程

2ab理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为x2y2y2x2坐标原点；在221与221这两个标准方程中，都有ab0的要求，ababx2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形如方程mnxyx2y2式的标准方程，可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，abab所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小)

三、讲解范例：

例1

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（35,）

22解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2

221

(ab0)

ab2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21

所以所求椭圆标准方程为259

⑵

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

y2x21

(ab0)

a2b2由椭圆的定义知，

35352a()2(2)2＋()2(2)2

2222

311010210

22a10

又c2

b2a2c21046

y2x21

所以所求标准方程为106另法：∵

b2a2c2a24

35y2x21，后将点（,）的坐标代入可求出a，∴可设所求方程2222aa4从而求出椭圆方程

点评：题（１）根据定义求

若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；

题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程

四、课堂练习：

x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，1

椭圆则P到另一个焦点的距离为259（ ）

A.5 B.6 C.4 D.10 x2y21的焦点坐标是（ ）

2.椭圆25169A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) x2y21，焦点在x轴上，则其焦距为（ ）

3.已知椭圆的方程为8m2A.28m2C.2m28 B.222m

D.2m22

4.a6,c1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

x25.方程3y2sin(241表示椭圆，则的取值范围是（ ）

)k. Ｃ.83 Ｂ.88k3(k∈Ｚ）

8833(k∈Ｚ）

Ｄ. 2k2k888

参考答案：

1.A2.C3.Ay2x24.1

5. Ｂ3635

五、小结

：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a2c0；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；

③a、b、c的几何意义

六、课后作业：

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值

x2y2x2y2x2y21；②1；③1；④4y29x236

①224242答案：①表示园；②是椭圆a2,b2,c2；

x2y2③不是椭圆（是双曲线）；④4y9x36可以表示为221

，是椭圆，2322a3,b2,c5

x2y21的焦距是

，焦点坐标为

；若CD为过左焦2

椭圆169点F1的弦，则F2CD的周长为

答案：2c27;F1(7,0),F2(7,0);4a16

3．方程4x2ky21的曲线是焦点在y上的椭圆

，求k的取值范围

答案：0k4

4

化简方程：x2(y3)2x2(y3)210

x2y21

答案：1625x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F25

椭圆10036的距离是

答案：4

6

动点P到两定点F1

(-4,0)，F2

(4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为

_______

答案：是线段F1F2，即y0(4x4)

七、板书设计（略）

八、课后记：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) x2y21；(1)

a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：169y2x21）

2521(2)

已知三角形ΔABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭x2y21

圆，其方程为：2516若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，

x2y21

其方程为：1625