6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质第二课时教案

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质详案

（第一课时）

上海市五爱高级中学 陆健2018.3.22 一、教学目标

1．理解正弦函数、余弦函数的概念；

2．熟悉将单位圆上的正弦线转化为正弦函数ysinx,x0,2π的图像，并利用诱导公式sinx2kπsinx,kZ得到ysinx,xR图像的过程；余弦函数的情况类似；

3．会用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像，掌握这两个函数的图形特征；

4．理解函数ycosx的图像可由ysinx的图像经由平移后得到；

5．在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯，培养学生主动探索的精神，独立解决问题的能力．

二、教学的重点与难点

重点：①用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像；

②“五点法”绘制正弦函数与余弦函数在一个周期内的大致图像．

难点：①利用单位圆画正弦曲线及用诱导公式画出余弦曲线；

②余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的关系．

三、教学过程

（一）复习回顾与情境引入

动手操作1：（课前）准备一张稍硬的白纸和一把剪刀.课堂上把白纸卷起来，问学生：“我如果用剪刀按照所画虚线把纸卷倾斜剪一截，大家猜猜白纸展开后截面是什么形状？”

生：可能有同学说是圆，也有同学说是椭圆…

师：那到底是什么形状呢？下面请同学动手给大家演示一下. 【教师拿剪刀把纸卷倾斜按虚线剪成两截，展开.会有一条规则的漂亮的线.然后把展开后的白纸展开放在黑板上，会出现一条醒目的波浪线.】（裁剪简图如右）

生：波浪线

师：这是我们今天要学习的一类图像形似波浪的函数——正弦、余弦函数，引出课题. （板书：6.1正弦函数和余弦函数的图像）

复习回顾：函数的定义：

师：说起函数，请同学来回忆一下它的的定义．

（学生回答）在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作yfx，xD．

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）（第1页）

五爱高级中学数学组

问题驱动1：结合函数的定义、以及我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．

情境2：在此之前，我们再来看一个例子，我给大家推荐一处上海的景点：

上海大悦城摩天轮SKYRING是国内首个悬臂式屋顶摩天轮，有30个纯白色浪漫轿舱，360度极致视野，搭配摩天轮下午茶及摩天轮大餐，成为又一上海旅游目的地。

如果我们把摩天轮看成一个圆，摩天轮的轴心O作为圆心.过圆心在此圆所在平面内作一平面直角坐标系，其x轴与地平面平行，y轴与地平面垂直，摩天轮的近地点为A. 考察摩天轮上吊篮与轮环的某一个连接点B，设摩天轮的半径为1，起始时OB与Ox的夹角0，OB绕O按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为1（弧度/分）.经过t分钟后，OB到达OB'，此时BOB't，设B'的纵坐标为y，我们发现对于每一个时间t，都有y=sint与之相对应. （PPT动态演示）

（二）主题探究

Ⅰ．正弦函数、余弦函数的定义：

概念生成：任意一个实数x都对应着唯一确定的角(在弧度制中其弧度数等于这个实数x)，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx(或余弦值cosx)．

sinx

xxcosx这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx(或cosx)与它对应。

按照这个对应法则所建立的函数，表示为ysinx (或ycosx)，它叫做正弦函数(sine function)(或余弦函数(cosine function))

．它们的定义域是实数集R．

（1）正弦函数：ysinx,xR；

（2）余弦函数：ycosx,xR．（板书）

师：同学们想想，原来我们研究函数是什么思路？

要把握一个函数，就要弄清函数的性质，而要弄清函数性质，就要会画函数的图像，今天我们就从画图像入手．

问题驱动2：如何作出正弦函数ysinx,xR、余弦函数ycosx,xR的函数图像？

Ⅱ．正弦函数ysinx,xR的图像：

1．ysinx,x0,2π的图像：

（讨论进行）

师：为了作出ysinx,xR的图像，我们先研究ysinx,x0,2π的图像. （提问）我们建立平面直角坐标系xOy，y轴表示三角函数值，x轴用弧度制表示角，为什么？

第

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

生：①在定义三角函数时，我们使用的角x是弧度制，②用弧度制后横、纵坐标的单位一致．

师：根据以往经验，我们应该如何画出ysinx,x0,2π图像？

（方案一：代数描点法）

生：列表、描点、连线．

师：在列表时，我们应该取多少x，取哪些x值代入函数运算呢？

关注问题：若分点少，很难描述图像特征；若分点多，图像准确了，但作图会较麻烦．

师生共同讨论解决方案：将区间0,2π进行十二等分，是因为：

①它们是特殊角且对应特殊值，且疏密适中，更简单易行，易操作；

②图像若是对称的，则等分选取能展示出图像的对称美．

x

ysinx

0

0

61

2

332

2

2332

1

5

61

2

0 74

631

3

2232

5332

1

11

61

220

师：确定下x的取值后，我们便确定了正弦函数作图的第一种方案，描点、连线作图．

（方案二：几何描点法）

师：我再来提出一种方案，在5.2节中我们学习了三角函数线，它对我们作正弦三角函数线也有着非常大的帮助．

*快速复习三角函数线：

正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sin操作方法：

①在平面直角坐标系内的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心的单位圆与x轴的一个交点为A（如右图）；

②设P是单位圆上的点，AO1P，Q为点P在x轴上的投影，可知QP是对应的正弦线，点P的纵坐标为sin；

③在x轴上取点N(,0)，将正弦线QP平移至NM的位置，使点Q与N重合，可知点M的坐标为,sin.它是函数ysinx的图像上的点，随着yxMP，cosOM．（关注：教师不能读作PM）

rr五爱高级中学数学组

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的改变，可以得到函数ysinx图像上的其它点．（PPT动态显示）

师：

步骤1：（等分）根据方案（一），我们亦将圆O1分为12等份，使角的弧度数依次取πππ0,,,,,2π；

632步骤2：（作正弦线、平移描点）作三角函数线（正弦线）得三角函数值，借助它们的正弦线，平移定点依次作出ysinx图像上的点；

步骤3：（连线）用光滑的曲线顺次连结各个点．

这种方法叫做几何描点法．

分组活动

用方案一和方案二分别作出

ysinx在

x0,2π小组一：（使用方案一）

小组二：（使用方案二）

（每组各请一位同学作为范例．教师PPT同步动态演示）

（方案一、方案二对比）方案一、方案二作图哪个更准确？

方案一：由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，所以画出的图像误差大。

方案二：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

附：方案一

参考图

y

上的图像．

1-

2---32



012x-

方案二

参考图

2．ysinx,xR的图像：

师：想要得到R上的正弦图像怎么办呢？

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

因为sin2kπxsinx，kZ，

所以函数ysinx在区间2kπ,2kπ2π像形状一样，只是位置不同. 于是我们只要将函数ysinx,x0,2π的图像向左、右平行移动(每次平行移动2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysinx,xR的图像。

kZ,k0上的图像与在区间0,2π上的图

好一个“恰似一江春水向东流”呀！

π3π,上，然后平移可以吗？

22生：可以，这个区间长度也为2π，选0,2π这个区间是一种习惯. 师：若我把图像先画在（方案三：五点法）

师：刚才的画图中我们感知了图像的变化，周而复始循环往复，那请大家想一下，在精确度要求不高时，如何作出正弦函数图像？找出体现主要特征的点，做到在画图中“心中有图，胸有成竹”.请看你画的图像找出它们来. 生：(0,0),(,1),(π,0),(π23π,1),(2π,0). 2步骤1：（列表）——列出对图像形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：（描点）——定出五个关键点；

步骤3：（连线）——用光滑的曲线顺次连结五个点．

小结：在精确度要求不高时，适用于五点法作图．

Ⅲ．余弦函数ycosx,xR的图像：

师：参照正弦函数图像的画法，我们又如何来作余弦函数的图像？

生：学生们几乎不用想很快回答说用“余弦线”可是学生们又自我否定了，因为余弦线在x轴上无法进行平移时间（课上可简单讲解余弦函数的几何作法，竖立、平移定点）. 图像形成：

师：那利用与正余弦函数有关的诱导公式能否帮助我们快速得到余弦函数的图像呢？

生：（ⅰ）ycosxsinππxsinx

★

22（生1）分析图像的变化: ①由正弦函数ysinx在实数集R的图像先向右平移上的图像；

ππ个单位得到ysinx在R22五爱高级中学数学组

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②再把函数ysinxππ图像关于轴对称就得到ysinxx的图像，它和函数22ππ(x)sinx

★

22π个单位得到，2ycosx是同一个函数，所以得到了余弦函数ycosx在R上的图像.

（ⅱ）ycosxcos(x)sin（生2）分析图象的变化：直接由正弦函数ysinx在R的图像向左平移经过讨论，第二种变形更简单，所以采取第二种方式的平移．（PPT动态演示）

粗略图画法：五点法

师：像画正弦曲线一样，余弦曲线x0,2π也可以用五点法画出：

五个关键点是0,1、π3π,0、π,1、,0、2π,1．

22归纳：正弦函数、余弦函数的作图：

（1）代数描点法（误差大）；

（2）几何描点法（精确但步骤繁）；

（3）五点法（重点掌握）；

（4）平移法．

（三）例题分析

例1：画出下列函数的简图：

．．(1)y1sinx,x0,2π (2)ycosx,x0,2π

解：(1)解法一：按五个关键点列表

x

sinx

1sinx

0

0

1

π

21

2

π

0

1

3π

21

0

2π

0

1

利用光滑曲线描点画图（其中用虚线画出ysinx,x0,2π的图像）（作图过程板书）

解法二：观察上面两个图像关系（通过“图像平移”）：所求函数y1sinx,x0,2π的图像只需将ysinx，x0,2π上的每一点向上平移一个单位长度就可得到．

解：(2)解法一：按五个关键点列表：（学生自己做，老师巡回指导）

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

π3πx

0

2

π

2

2π

cosx

1

0

1

0

1

cosx

1

0

1

0

1

利用光滑曲线描点画图（作图过程板书）

解法二：图像对称变换：函数ycosx,x0,2π的图像与函数ycosx，x0,2π的图像关于x轴对称，ycosx,x0,2π的图像作关于x轴对称就可得到所求函数图像．

例2：利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合：

(1)

sinx12 (2)

cosx12

解(1)：作出正弦函数ysinx,x0,2π的大致图像：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：π5π62kπ,62kπ,kZ

解(2)：作出余弦函数ycosx,x0,2π的大致图像：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：π532kπ,π32kπ,kZ

例3：已知函数ycosx,x0,2π和y1的图像围成的一个封闭的平面图形的面积为

．2π（过程板书）

（四）课堂小结

1．知识回顾：

（1）两个三角函数：（1）正弦函数：ysinx,xR；（2）余弦函数：ycosx,xR；

（2）正弦函数和余弦函数的图像及其作法，简单的图像特征：

①代数描点法（误差大）；②几何描点法（精确但步骤繁）；③五点法（重点掌握）；④平移法．

（3）函数图像平移中的方法及注意点：利用图像的平移，sin(xπ2)cosx，将正弦函数ysinx的图像向左平移π2个单位即可得到余弦函数ycosx的图像．

2．此节的三角函数图像作为数学模型在其他学科、社会中有无重要应用？你能否举出实例证实它的作用？体会学科之间，科学文化与社会之间的联系——来源于实践又反作用于实践．

（物理中的简谐运动等）

（五）作业布置：书上练习1．2．3．

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（六）知识拓展：余弦函数的几何描点画法介绍

第一步：列表．表就是单位圆中的余弦线．

第二步：描点．把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成π角的直线，又过余弦线O1A4的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A'，那么O1A与AA'长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A

“竖立”起来成为AA'，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图像上的点．

第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数ycosx,x0,2π的图像．

（七）板书设计：

一、正弦、余弦函数的定义：

……

二、正弦、余弦函数图像的画法：

……

三、课堂练习：

（八）课后反思

一、教学目标达成：

本节课是三角函数的图像和性质的第一节课，为了让学生从函数的层面体会理解正弦函数和余弦函数，让学生先回忆函数的定义，再顺应得出正弦函数和余弦函数的定义，这样处理符合学第

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

生的认知规律。通过对照定义改变自变量(角的值)感受函数值的变化，加深学生对正弦函数和余弦函数的理解，为后续作正弦函数的图像做好知识的准备。

二、重难点突破：

由于正弦函数和余弦函数的特殊性，教材在研究正弦函数和余弦函数时先得出函数的图像，再由图像归纳得出函数的性质，而对学生来说，作函数的图像是一个难点。为了加深学生对正弦函数的理解，先通过在单位圆中正弦线的变化规律，提高学生对正弦函数的理解，结合多媒体课件，将正弦函数在随角x的变化而变化的规律更形象地展示给学生面前，为学生通过描点法或正弦线作出正弦函数在x[0,2]范围上的图像做好了铺垫。而正弦函数在其他范围上的图像，是通过平移得出的，更加有效地反映了正弦函数的周期性，也为下面作余弦函数的图像提供了经验准备。

三、教学过程评价：

教师的课件制作针对性强，动画演示效果好，很好的辅助学生理解正弦函数的图像画法的过程。教师上课教态自然，语言语调好，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实，能与学生进行有效沟通，而且舍得把时间给学生去板演作图、去交流思考思路、去讲解解决问题过程，善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。

四、课堂即时效果

在这节课的教学设计中，从始至终学生能够主动思考问题，提出问题，分析问题并解决问题，在积极活跃的思维过程中，不断提高学生的数学能力和数学素养．

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6.1(1)

正弦函数和余弦函数的图像

学习实践单（简案）

五爱高级中学 陆健 【学习目标】

①理解正弦函数、余弦函数的概念；

②熟悉将单位圆上的正弦线转化为正弦函数ysinx,x0,2π的图像，并利用诱导公式得到ysinx,xR图像的过程；

③会用“五点法”绘制正弦、余弦函数在一个周期内的图像，掌握这两个函数的图形特征；

④理解函数ycosx的图像可由ysinx的图像经由平移后得到. 【基本知识】正余弦函数的定义：

【问题驱动】如何作出正弦函数ysinx,xR、余弦函数ycosx,xR的函数图像？

【实践操作】请同学们根据不同方案要求，分组画出ysinx,x0,2π的图像. 方案一：代数描点法

疑问：在列表时，我们应该取多少x，取哪些x值代入函数运算呢？

Step 1

:

x

ysinx

Step 2

:

Step 3

:

（见下图）

y

1

-

π3ππO2π

x22

1-

----

方案二：几何描点法

回顾：三角函数线还记得吗？

Step 1

:

Step 2

:

Step 3

:

（见下图）

第

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

对比分析：方案一、方案二哪个画图更准确？

方案三：五点法

疑问：取哪些关键点？

Step 1

:

x（关键点）ysinx

Step 2

:

Step 3

:

（见下图）

y

【掌握新知】

11-

-π2---OπR的图像

1.ysinx,x-疑问：如何快速得到其图像？

3π22.ycosx,xR的图像

疑问：如何变换，快速得到其图像？

O

y

2πxx

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yOx

【例题分析】

例1：画出下列函数的大致图像：

．．．．(1)y1sinx,x0,2π

(2)ycosx,x0,2π



y

1-

-π2---O1π-

3π2

-

2πxy1----O1-

π2π3π2第

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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

（第一课时）

2πx

例2：利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x的集合：

(1) sinx11

(2) cosx

22

例3：已知函数ycosx,x0,π2和y1的图像围成的一个封闭的平面图形的面积为

．

【知识拓展】

余弦函数的几何描点画法介绍

第一步：列表．表就是单位圆中的余弦线．

第二步：描点．把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成π角的直线，又过余弦线O1A4的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A'，那么O1A与AA'长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A

“竖立”起来成为AA'，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图像上的点．

第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数ycosx,x0,2π的图像．

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