6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质国家优质课一等奖

有关三角函数内容的讨论

三角函数式高中数学很重要的一部分内容，也是学生学习的重点和难点：

从教学内容来看，主要的重点是：

任意角与弧度制的概念、任意角的三角函数概念和三角函数的图象与性质、其重要程度，从前至后，逐个递增：任意角与弧度制的概念，是任意角的三角函数的基础；两者皆为引出三角函数的图像与性质服务；而围绕三角函数图象与性质展开的教学内容（如：三角函数的周期性、三角函数图象、五点法作图、函数图象的伸缩变换、正弦型函数图象等等），几乎无一例外，都兼有应用广泛的知识性和可推广的方法性或思想性，同时，对学生而言，通过对三角函数的图象与性质的学习，也将使他们对前期学习的三角内容乃至函数内容有更为深入与全面的理解与掌握。

在学习过程中的主要的教学难点是：

1．直角坐标系中的任意角：“终边相同的角”与直角坐标系中角的终边所在的射线是数与形“多对一”的关系，但学生往往因为初中常用角概念的负迁移作用，对此对应关系理解不深、使用不准。教学中，应引导、帮助学生自觉克服思维定式，准确理解与应用“新”概念。

2．弧度制的概念：学生往往会因为对在三角函数的研究中引入弧度制的必要性认识不够明晰，在学习初期，尽量使用自己比较熟悉的角度制而回避弧度制，在学习后期，则仅仅限于“记住”一些常用角的表示，却完全遗忘了弧度制的概念。在教学中，教师可根据学生的学业水平，设计适当的教学过程，使学生理解引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切实落实常用特殊角角度制与弧度制的互化。

3．三角函数线之正切线：一般来说，学生比较容易理解与掌握正弦线与余弦线，但理解与掌握正切线有一定的难度

。

而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念。

4 ．诱导公式：因公式繁多，学生往往视对其的记忆为畏途，在使用时亦易混用或乱用。教学中应注意帮助学生发现并落实准确记忆诱导公式的方法。

5 ．函数的周期性：“函数的周期性”的表述结构比较复杂，给学生准确、深入地理解概念带来不小的困难。但因为“周期性”的图象特征明显且易把握，所以，只要适当把握与“周期性”有关问题的难度，则对概念理解把握不够深入透彻也不会过于影响学生对后继课程的学习。

6 ．函数图象的伸缩变换：对学生而言，“伸缩变换”本身，不是很难理解，但当“伸缩变换”与其他变换相结合构成复合变换时，则易暴露出学生对“伸缩变换”的理解不准确、不到位。教学中，可强化函数图象复合变换的一般方法的教学，来帮助学生克服这一学习难点。

现附上三角函数第一节课的内容来反映我对这部分内容的一些构思。

正弦函数和余弦函数的图像的教学设计

【教学目标】：

知识与技能：掌握正弦函数、余弦函数的图像特征，会用五点法绘制正弦函数、余弦函数在一个周期内的大致图像；

过程与方法：经历将单位圆上的正弦线转化为正弦函数ysinx,x[0,2]的图像，并利用诱导公式sin(x2k)sinx得到ysinx,x(,)图像的过程。通过图像平移得到ycosx,x(,)的图像；

情感态度价值观：通过让学生自己去探索和发现，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神；通过图像的对称美，对学生进行美的教育。

【教学媒体】：使用电脑制作PPT课件，可以使学生看到图像的动态的变化。

【教学重点】：正弦函数、余弦函数的图像

1

【教学难点】：利用正弦线作正弦函数图像

【教学过程设计】：

一、给出正弦函数、余弦函数的定义

每一个角与一个实数（这个角的弧度数）一一对应，而每一个确定的角对应一个确定的三角比值，这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx（或cosx）与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为ysinx（或ycosx），它叫做正弦函数或余弦函数。定义域是实数集R。

二、正弦函数ysinx在x[0,2]的图像。

(1)描点法作图

①

列表ysinx,x0,2

x

0 

6

33

2257



36621 4

33

25

311

2

60 y

0 1

2

②

描点

③

连线

3

21

20 1331



－1 

2222y1-

201y32

----

-

2x

1-

2---32-



012x

-

(2)利用正弦线作图PPT显示时要多放几遍

y

-

1

P

p1/oy

63-

12yo1M1Ayyy23y56yy76y43y32y53y116y22x

2 -1

三、正弦函数、余弦函数在R上的图像。

(1)通过诱导公式sin(x2k)sinx,kZ，所以函数ysinx当x[2,4],x[4,6],时的图像与ysinx,x0,2的图像形状一样，只需将

后者图像位置向右平移2,4个单位；同样向左平移2,4个单位，于是可以得到ysinx,xR的图像。

y1y1

2O234x

21232因sxiy1(2)2n)c(xo，所以s余弦函ycosx的图像可以看作由正弦函数ysinx的图像向左移动2而得到。

y1 2o24-1

四、五点作图法

(1) ysinx,x0,2

图像中有五个关键点（如图）

y1

-

x-

xx-1

o6

2xx57x4xx35x11x3236x632362ox-1

-

图像的最高点：(2,1)与x轴的交点：(0,0),(,0),(2,0)图像的最低点：(32,1)

(2) ycosx,x0,2图像中有五个关键点（如图）

3 为数

y1-

-

-1

o-6

322356764332531162x

-1-

图像的最高点：(0,1),(2,1)与x轴的交点：(2,0),(3,0)图像的最低点：(,0)

2在精确定要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然一用光滑的曲线将它们连结起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

五点法作图的步骤：

(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 五、例题例1、用“五点法”画出函数y1sinxx[0,2]

的简图

小结：①正余弦函数图像

②五点法作图

作业（略）

教后感：利用电脑这个媒介在讲解正弦函数图像是怎么画出来的带来了很大方便，并且学生也比较容易理解，比不用辅助工具直接在黑板上画更有说服力。但学生独立画图时还是面临单位长度不好，曲线凹凸情况把握不到位，今后教学要演示得更慢些。

上财附中

冯仁菁

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