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第20讲

平行四边形与多边形

重难点1

与平行四边形性质有关的计算

在▱ABCD中，AD＝10，AB＝7. (1)如图1，∠BCD的平分线CE交AD于点E，则AE＝3；

(2)在(1)的条件下，若∠CED＝65°，则∠A＝130°；

图1

图2

图3 (3)在(1)的条件下，延长CE交BA的延长线于点F，如图2所示，则AE＋AF的值等于6；

(4)如图3，若BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，则EF的长为4．

【拓展问题】

问题(4)中，CE与BF的位置关系是垂直．

方法指导

利用平行四边形的性质进行相关计算，一般运用平行四边形性质转化角度或线段之间的等量关系：

(1)对边平行可得相等的角，进而得到相似三角形；

(2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；

(3)当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线⇒等腰三角形”的结论得到等角、等边．如：例1，图1中△CED，图2中△BCF，△CED均是等腰三角形．

(4)①当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时，可利用三角形中位线的性质进行计算．如：例2中OE是△BCD或△ACD的中位线．

②当有一条线段过对角线的交点且与其中的一条对角线垂直时，得到线段的垂直平分线、等腰三角形，进而可以用线段垂直平分线、等腰三角形的性质进行计算．如：例2中拓展问题2，OF是线段AC的垂直平分线，△AFC是等腰三角形．

提示平行四边形中常涉及整体思想，如▱ABCD，已知AB＋BC的长，则C▱ABCD＝2(AB＋BC)．

【变式训练1】

如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，且AD＝5 cm，AP＝8 cm，则∠APB＝90°，DC＝10cm，△APB的周长是24cm.

【变式训练2】

在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．

如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，且DE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为(B) A．20

B. 16

C. 12

D．8

图1

图2 【拓展问题1】

如图1，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为40°．

【拓展问题2】

如图2，OF⊥AC，交AD于点F，连接CF.若△CDF的周长是8，则▱ABCD的周长是16．

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重难点2

平行四边形的性质与判定的综合

如图1，点E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF. 《火线100天》word版

图1

图2

图3 (1)①求证：DF＝BE；

②如图2，连接DE，BF，求证：四边形DFBE是平行四边形．(请至少用两种判定方法证明) (2)如图3，若BE⊥AC，DF⊥AC，延长BE，DF分别交CD，AB于点N，M. ①求证：四边形DMBN是平行四边形；

②已知CE＝4，FM＝3，求AM的长．

【自主解答】

解：(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥BC. ∴∠DAF＝∠BCE. ∵AE＝CF，

∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE. ∴△ADF≌△CBE. ∴DF＝BE. ②解法1：已证△ADF≌△CBE，

∴∠AFD＝∠CEB. ∴∠DFC＝∠BEA. ∴DF∥BE. 又∵DF＝BE，

∴四边形DFBE是平行四边形．

解法2：同(1)①中的方法可证△CDE≌△ABF. ∴DE＝BF. 又∵DF＝BE，

∴四边形DFBE是平行四边形．

解法3：连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形．

∴DO＝OB，AO＝OC. 又∵AE＝CF，

∴AE－AO＝CF－OC，即OE＝OF. ∴四边形DFBE是平行四边形．

(2)①证明∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥DF. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB. ∴四边形DMBN是平行四边形．

②∵四边形DMBN是平行四边形，

∴DN＝BM. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB. ∴CN＝AM. ∵AB∥CD，

∴∠DCA＝∠BAC. www.sjhzhb.com

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又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠CEN＝∠AFM＝90°. ∴△AFM≌△CEN. ∴AF＝CE＝4. 在Rt△AFM中，AM＝AF2＋FM2＝5. 方法指导判定平行四边形的基本思路：

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(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；

(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；

(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；

(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．

【变式训练3】

(2018·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.

(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；

(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．

解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°. 在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°. ∴BC∥AD. 在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CE＝AE＝BE. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°. ∴∠BEC＝∠EAC＋∠ECA＝60°. 又∵∠ABD＝60°，

∴CF∥BD. ∴四边形BCFD是平行四边形．

(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，

1∴BC＝AB＝3，AC＝3BC＝33. 2∴S▱BCFD＝3×33＝93.

考点1

多边形

1．(2018·福建)一个n边形的内角和为360°，则n等于(B) A．3

B．4

C．5

D．6 2．(2018·菏泽)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．

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3.(2018·宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8.

4．(2018·山西)图1是古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°．

图1

图2 5．(2018·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．

6.(2018·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是360°或540°．

考点2

平行四边形的性质

7．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C) A．14

B．13

C．12

D．10

8．(2018·台州)如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于1点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，2则AE的长是(B) 163A.

B．1

C.

D.

252

9．(2018·兰州)如图，将▱ABCD的对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为(B)

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A．102°

B．112°

C．122°

D．92°

10．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．

11．(2018·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝413.

12.(2018·大连)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OD＝OB，

∵AF＝CE，

∴OE＝OF. 在△BEO和△DFO中，

OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，

OE＝OF，∴△BEO≌△DFO(SAS)．

∴BE＝DF.

13．(2018·曲靖)如图，在▱ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM. (1)求证：△AFN≌△CEM；

(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB. ∴∠AFN＝∠CEM. ∵FN＝EM，AF＝CE，

∴△AFN≌△CEM(SAS)．

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(2)∵△AFN≌△CEM，

∴∠NAF＝∠ECM. ∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，

∴107°＝72°＋∠ECM. ∴∠ECM＝35°. ∴∠NAF＝35°.

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考点3

平行四边形的判定

14．(2018·呼和浩特)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②DC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D.四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C) A．5种

B．4种

C．3种

D．1种

15．(2018·岳阳)如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且AB＝CD. 又∵AE＝CF，

∴BE＝DF. ∴BE∥DF且BE＝DF. ∴四边形BFDE是平行四边形．

16．(2018·济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，则∠P的度数是(C)

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

17．(2018·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD1＝AB，连接OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个2数有(B) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

18．(2018·哈尔滨)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝10，则该线段BC的长为42．

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19．(2018·兰州)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF. (1)求证：四边形AFCD是平行四边形；

3(2)若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．

2

解：(1)证明：∵CD∥AB，

∴∠DCA＝∠FAC.又∵E是AC的中点，∴AE＝EC. 在△CDE和△AFE中，

∠DCE＝∠FAE，EC＝EA，

∠AEF＝∠CED，∴△CDE≌△AFE(ASA)．

∴CD＝AF. 又∵CD∥AB，

∴四边形AFCD是平行四边形．

(2)∵AB∥CD，

32GBFB39∴＝，即＝.解得DC＝. GCDC23＋6DC93∴AB＝AF＋BF＝CD＋BF＝＋＝6. 22

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