直角三角形的性质与判定教学实录及点评

第一章

三角形的证明

2．直角三角形（一）

西安市第四十二中学

陈睿

一、学情分析

直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．

二、教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．能力目标：

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．教学重点、难点

重点:①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

难点:勾股定理及其逆定理的证明方法．

4.

学习目标

(1)．通过回顾并总结直角三角形性质及判定的相关结论，能够证明这些结论，并能用它们来

1

计算或证明．

(2)．通过观察成对命题的结论与条件之间的关系，归纳出互逆命题的概念，并能写出一个命题的逆命题．

三、教学过程

【温故知新】

1、我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？

2、特殊直角三角形的性质: 有一个角是300 的直角三角形三边之比是

等腰直角三角形三边之比是

【自主预习】

1.什么是直角三角形？

2.直角三角形的角有哪些性质？反之，任意一个三角形的两锐角具备这种关系就是直角三角形么？请说明理由。

3.直角三角形的边有哪些性质？勾股定理内容是什么？反之，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形么？请说明理由。

4.逆命题、逆定理的概念是什么？两个互逆命题、互逆定理的关系是什么？真命题的逆命题是真命题么？定理的逆命题也是定理么？

【自主探究】

直角三角形的性质定理与判定定理

1.直角三角形的角有哪些性质？（用几何语言描述）

2.如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？（用几何语言描述）

定理：直角三角形的两个锐角互余．

2

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

求证：∠A＋∠B＝90°. 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∵∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形

已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形．

证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°

∴△ABC是直角三角形．

【合作探究】

勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.

a

1、勾股定理:

c

b

勾

弦

股

3

练习：线段a∶b∶c的值如下，则能够组成直角三角形的是（

）

(A)3∶4∶6

(B)5∶12∶13

(C)1∶2∶4

(D)1∶3∶5

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 师生共同来完成．

已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，

则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．

∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′

∴BC2＝B′C′2

∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．

因此，△ABC是直角三角形．

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

例

如图在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，AD＝8，CD＝17. 求：(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．

ABCA'B'C'

4

解：

(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，

∴AC＝15.

(2)∵152＋82＝172，即AC2＋AD2＝CD2，

∴∠DAC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△DAC ＝

114.

（2）．互逆命题和互逆定理．

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。

3：议一议

观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．

如果两个角相等，那么它们是对顶角．

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．

三角形中相等的边所对的角相等．

三角形中相等的角所对的边相等．

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上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢? 在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．

要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．

请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？

从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．

能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．

[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．

例

写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)如果x＝5，那么x2＝25；

(2)全等三角形的高相等；

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(3)如果△ABC是直角三角形，那么当每个内角处取一个对应外角时，△ABC的三个外角中有两个是钝角；

(4)如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角．

解：

(1)逆命题：如果x2＝25，那么x＝5.是假命题．

(2)逆命题：高相等的三角形是全等三角形．是假命题．

(3)逆命题：在△ABC的每个内角处取一个对应外角，如果三个外角中有两个是钝角，那么△ABC是直角三角形．是假命题．

(4)逆命题：同角的补角相等．是真命题．

【走进中考】

如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．

【检测反馈】

1、随堂练习P16 2、一个三角形三边长分别为9cm、12cm、15cm，则这个三角形最长边上的高为（

）

（A）9cm

(B)12cm

(C)18.5cm

(D)7.2cm 3、已知：△ABC中，∠B＝450，∠C＝300，AC＝10，求S△ABC A

4、

在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？

BC

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DBCA

课时小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．

课后作业

习题1．5第1、2、3、4题

四、教学反思

本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者.学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.

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