等边三角形的判定板书设计及意图

等边三角形的判定

井陉县小作中学

杨彦文

八仙过海

600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法. 命题的证明

:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), ∴∠C=∠B=600.(等边对等角). ∴∠A=600(三角形内角和定理). ∴∠A=∠B（等式性质）.

∴

AC=CB（等角对等边）. ∴AB=BC=AC（等式性质）. ∴

△ABC是等边三角形(等边三角形意义). 几何的三种语言

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形). ′这又是一个判定等边三角形的根据之一. 命题的证明

:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B (已知),

∴

BC=AC,(等角对等边).

又∵∠B=∠C(已知),

∴

AB=AC,(等角对等边).

∴AB=BC=AC(等式性质).

∴

△ABC是等边三角形(等边三角形意义). 几何的三种语言

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.

在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). ′这又是一个判定靠边三角形的根据之一. 命题的猜想

1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半. 能证明你的结论吗？

命题的证明

:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300. 求证:BC= AB. 证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). 又∵

∠ACB=900, (已知), ∴∠ACD=900(平角意义). 在△ABC与△ADC中

∵BC=DC（作图）,

∠ACB=∠ACD（已证）,

AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）. ∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB(等式性质). 几何的三种语言

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半). 这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一. 学无止境

例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高. 分析:如图,在△ABC中AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D. 求:CD=? 解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). ∴CD= AC= ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).这里有一个化归的数学思想——即把问题转化为一个纯数学问题.

含300角的直角三角形

1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4. 分析:因为∠A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得. ′你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗? 三角形,认识我吗

2.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由. ′胜利属于敢想敢干的人！

你能与同学们交流探索证题的全过程吗? 反过来怎么样——逆向思维

:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? ,请你证明它. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC=AB/2. 求证:∠A=300. 反过来怎么样——逆向思维

证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 在△ABD中,∵∠ACB=900(已知), ∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又∵BC=AB/2(已知),

BC=BD/2(作图), ∴AB=BD(等量代换). ∴AB=BD=AD(等式性质）. ∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义). ∴∠B=600(等边三角形意义). ∴∠A=300(直角三角形两锐角互余). 几何的三种语言

定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 在△ABC中

∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), ∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). 这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一. 成功者的摇篮

1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? 成功者的摇篮

1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A

角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? 答:∠ADG等于150.

证明:∵DF=DC/2(中点意义), A1D=AD=CD(正方形各边都相等), 300 ∴DF=A1D/2(等量代换). ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). 又∵AD∥EF(中点意义), ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义). 回味无穷

: :有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. :三个角都相等的三角形是等边三角形. : :在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. :在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. : ? 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证: △ADE是等边三角形.

证明1: ∵△ABC等边三角形(已知), ∴

∠A＝∠B=∠A＝600(已知),

又∵

DE∥BC(已知),

∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600 (两直线平行,同位角相等).

∴

∠A =∠1=∠2(等量代换).

∴

△ADE是等边三角形

(三个角相等的三角形是等边三角形).

习题1.3 2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E. :BC,DE的长.

解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m(已知), ∴

BC=AB/2=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),

又∵

AD=AB/2=7.4÷2＝3.7(中点意义),

∴

DE=AD/2=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

答:BC=3.7m,DE=1.85m.

老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.

1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.

答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形.

证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知),

∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个

角都等于600 ). 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),

∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等).

∴∠E＝600(三角形内角和定理).

同理,∠D=600,∠F＝600.

∴

∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换).

∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).

1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.

答:(1)△DEF是等边三角形;

(2)△ABE,△ACF,△BCD也都是等边三角形. 请同学们来证明(2)中的结论.

1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.

答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知),

∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个

角都等于600 ). 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),

∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等).

∴∠E＝600(三角形内角和定理).

同理,∠D=600,∠F＝600.

∴

∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换).

∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).