一元一次不等式的应用优秀教学设计

2．

不等式的基本性质

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.

2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x

1.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.

2.通过类比等式的基本性质研究得到不等式的基本性质,体会类比的数学思想.

3.进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力.

1.通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.

2.尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解.

【重点】

探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.

【难点】

能根据不等式的基本性质进行化简.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习上一节不等关系的知识及等式的基本性质.

导入一:

请班上同学站在不同的位置上比高矮.在最高的同学和最矮的同学同时站在地面上、矮的同学站在桌子上、高的同学站到楼梯的下一层三种不同的情况下比较高矮.怎样比较才公平? [设计意图]

让学生体会当两位同学同时增高或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实.

导入二:

师:我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗?

生:记得.等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.等式的基本性质2:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.

师:不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将研究不等式的基本性质.

[设计意图]

基于学生对等式的基本性质的认识,采用类比的方式进行教学,使学生接受起来比较容易.

一、不等式的基本性质

思路一

[过渡语]

同学们,你们还记得等式的基本性质吗?请用字母表示出来.不等式也有类似的性质吗?先猜一猜.

小组活动,共同探究,解决下列问题: (1)用等号或不等号完成下面的填空.

已知2<3,那么: 2×5

3×5; 2×

3×; 2×(-1)

3×(-1); 2×(-5)

3×(-5); 2×

3×.

(2)用字母表示你所发现的结论.

(3)与同伴交流你的结论,并展示.

生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:若a=b,则a±c=b±c.类似地,不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.用字母表示为:若a>b,则a±c>b±c.

生2:等式的基本性质2用字母可以表示为: 若a=b,则ac=bc,=(c≠0).经过前面的探索,可类似地得到:如果不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用字母表示为:若a>b,c>0,则ac>bc,>;若a>b,c<0,则ac

总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

[设计意图]

通过等式的基本性质类比得到不等式的基本性质,由特殊的数值到用字母代表数,并从中归纳出一般性结论,进一步发展学生的符号感和提出问题、分析问题、解决问题的能力.

思路二

[过渡语]

等式的基本性质我们已经掌握了,那么不等式的基本性质是否和等式的基本性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法.

生:已知3<5,且3+2<5+2,3-2<5-2,所以3+a<5+a,3-a<5-a,即在不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.

师:很好.不等式的这一条性质和等式的基本性质相似.下面继续进行探究.

生1:已知3<5,且3×2<5×2,3×<5×,所以3·a<5·a,即在不等式的两边都乘同一个数,不等号的方向不变.

生2:不对.如3<5,但3×(-2)>5×(-2),所以他的总结是错的.

师:看来大家有不同意见,请大家互相讨论后举例说明.

生3:已知3<4,且3×3<4×3,3×<4×,3×(-3)>4×(-3),3×(-5)>4×(-5),由此看来,在不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向改变.

师:非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导.

生:当不等式的两边都除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边都除以同一个负数时,不等号的方向改变.

师:由此,大家可以总结得出不等式的基本性质2和基本性质3,同学们要学会灵活运用.

总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

[设计意图]

以问题的形式引导学生用类比的方法先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后总结、归纳出性质.在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁指引.

二、例题讲解

[过渡语]

刚刚我们学习了不等式的基本性质,下面我们通过几个例题来看看同学们理解得怎么样.

(补充例题)用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>.你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗? 解:∵4π<16,∴>,由题意可知l2>0, 根据不等式的基本性质2, 此不等式两边都乘l2,可得>

.

(教材例题)将下列不等式化成“x>a”或“x-1;

(2)-2x>3.

解:(1)根据不等式的基本性质1, 两边都加5,得x>-1+5,即x>4.

(2)根据不等式的基本性质3, 两边都除以-2,得x<-.

[设计意图]

在讲解例题的过程中,要求学生说出每一步变形的依据,能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的.

[知识拓展]

不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.它们的区别和联系是: (1)区别:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时,等式仍然成立;在不等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若乘(或除以)的是正数,则不等号方向不变,若乘(或除以)的是负数,则不等号的方向改变.

(2)联系:不等式的基本性质和等式的基本性质都讨论的是在两边都加(或减)、都乘(或除以,除数不为0)同一个数时的情况,且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.

1.不等式的基本性质的推导.

2.不等式的基本性质.

基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

3.利用不等式的基本性质进行简单的化简.

1.如果m

(

) A.m-9-n

C.> D.>1 答案:C 2.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是

A.a>b B.ab>0 C.<0 D.-a>-b

答案:D 3.由不等式ax>b可以推出x<,那么a的取值范围是

(

) A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0 答案:B 4.若m

n-3; (2)-5m

-5n; (3)-

-; (4)3-m

2-n; (5)0

m-n; (6)-(

)

-.

答案:(1)<

(2)>

(3)>

(4)>

(5)>

(6)<

5.用“>”或“<”填空.

(1)如果x-2<3,那么x

5; (2)如果-x<-1,那么x

;

(3)如果x>-2,那么x

-10; (4)如果-x>1,那么x

-1.

答案:(1)<

(2)>

(3)>

(4)< 6.由xay的条件是

.

答案:a<0 7.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x

(1)4x>3x+5;

(2)-2x<17.

解:(1)x>5. (2)x>-.

8.若<,试判断a的正负性.

解两边都乘:根据不等式的基本性质根据不等式的基本性质-12,得3a>4a.

3, 两边都减去即a<0,所以3aa,1, 为负数得0>a.

, 2

不等式的基本性质

一、不等式的基本性质二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

【选做题】教材第

41页随堂练习的1,2题.

二、课后作业教材第

42页习题2.2的1,2题.

【基础巩固】

1

A..如果t>0,那么a+t与a的大小关系是 (

) C.aa++tt>≥aa

B.D.a不能确定+t

2.如果<,那么a必须满足

(

) A.C.a3.已知有理数a≠>0 0 B.D.aa<0 为任意实数a,b,c在数轴上的位置如图所示

,则下列式子正确的是

A.C.cb4cb>

B.D.acc+>ab

①若.下列说法b>a+b

②若a-b; ; ⑥若<,则x>y.

(

)

其中正确的说法有

(

) A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

5.2a与3a的大小关系

(

) A.2a<3a

B.2a>3a

C.2a=3a

D.不能确定

【能力提升】

6.若x+y>x-y,y-x>y,则下列结论:①x+y>0;②y-x<0;③xy≤0;④<0.其中正确结论的序号为

.

7.满足-2x>-12的非负整数有

.

8.若ax>b,ac2<0,则x

.

9.如果x-7<-5,那么x

;如果->0,那么x

.

10.当x

时,代数式2x-3的值是正数.

【拓展探究】

11.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x

(1)0.3x<-0.9;

(2)x

12.下列各式分别在什么条件下成立? (1)a>-a;

(2)|a|>a.

【答案与解析】

1.A(解析:∵t>0,∴根据不等式的基本性质1可得a+t与a的大小关系是a+t>a.故选A.) 2.C 3.A(解析:由数轴可知a>0,c0,所以③不正确;④若ay,所以⑥正确.故正确的说法有3个.故选B.) 5.D(解析:要分a>0,a<0和a=0三种情况讨论,再根据不等式的基本性质来确定2a与3a的关系.故选D.) 6.④(解析:根据题意可判断出x<0,y>0,所以x-y<0;y-x>0;xy<0;<0.x+y的符号不能确定.所以④正确.故填④.) 7.0,1,2,3,4,5

8.<(解析:因为ac2<0,c2>0一定成立,所以有a<0.根据不等式的基本性质:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,在ax>b的两边同时除以负数a,即可得到x<.故填<.) 9.<2

<0 10.>(解析:若代数式2x-3的值是正数,则得到一个关于x的不等式2x-3>0,根据不等式的基本性质可得x>.故填>.) 11.解:(1)不等式的两边都除以0.3,得x<-3. (2)不等式的两边都减去x,得x<-4,在此不等式的两边都乘2,得x<-8.

12.解:(1)在不等式a>-a的两边同时加上a,得到2a>0,在此不等式的两边同时除以2,得到a>0,即当a>0时,不等式a>-a成立. (2)∵|a|>0,|a|>a,∴a<0.即当a<0时,不等式|a|>a成立.

本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质.教学中设置问题,通过与等式的基本性质相对比,引导学生自己先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后自己总结、归纳、完善性质并能用字母表示出来.在接下来讲解例题与练习的过程中,学生对不等式每一步变形的依据都能够正确回答,充分掌握了不等式的基本性质.

对于不等式的基本性质的应用,采用老师问学生答的形式,没有照顾到全体学生.不等式基本性质的总结没有放手让学生自己进行概括.