三角形中的垂直平分线教学内容

第一章 三角形的证明

第2课时

三角形三边垂直平分线的性质

一、教学目标

1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．

2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．

二、教学重点、难点

重点

掌握三角形三边垂直平分线的性质．

难点

会用所学知识按要求作图．

三、教学过程

1、复习导入

活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．

师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程) 引导学生得出：

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．

活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．

师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．

2、探究新知

1．三角形三边垂直平分线的性质

(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．

师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．

通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．

(2)师生共同分析，完成证明．

处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．

已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP. 求证：点P在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理PB＝PC. ∴PA＝PC. ∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P. 师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？

(交点P到三角形三个顶点的距离相等) (3)多媒体演示我们得出的结论：

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．按要求作图

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？

处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．

解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．

已知：三角形的一条边a和这边上的高h，

求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.

从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．

(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h. 作法：①作BC＝a；

②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；

③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；

④连接AB，AC. ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

三、练习巩固

1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是(

) A．三角形三条角平分线的交点

B．三角形三条垂直平分线的交点

C．三角形三条中线的交点

D．三角形三条高的交点

2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．

4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

五、课外作业

1．教材第26页“随堂练习”．

2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．

五、教学反思

本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．