三角形中的垂直平分线公开课教学设计模版

北师大版八年级下册

第一章

三角形的证明

3 第2课时

三角形三边的垂直平分线

教学设计

郑州市惠济区第五初级中学 侯颖

一、学生知识状况分析

通过对前面等腰三角形的性质与判定等内容的学习，学生对如何猜想并证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．

二、教学任务分析

在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的目标为：

1.通过作图，发现并证明三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；

2.能够利用尺规作符合条件的等腰三角形及过一点作已知直线的垂线. 重点：

1.证明三角形三边的垂直平分线的性质；

2.能够利用尺规作符合条件的等腰三角形. 难点：证明三线共点。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：温故知新；第二环节：新知探究；第三环节：例题精讲；

第四环节：素养提升；第五环节：课堂总结；第六环节：课堂检测

；第五环节：课后作业。

1、温故知新

活动目的：

1.

复习回顾线段的垂直平分线的性质和画法；

2.

让学生类比线段的垂直平分线的性质猜想三角形三条边的垂直平分线的性质；

1

活动过程：

1.同学A与同学B玩抢凳子游戏，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由.

2.同学A与同学B玩抢凳子游戏，同学C也要加入，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由.

教师提问：“利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?”

“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。

教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”

2、新知探究

探究1 三角形三边的垂直平分线的性质

（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．

通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．”

虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在MAEOPBNCFQ

2

第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明

（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．

求证：P点在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理PB=PC．

∴PA=PC．

∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?”

（交点P到三角形三个顶点的距离相等．）

（3）多媒体演示并板书结论：

定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（4）归纳总结

多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。

当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的内部；

当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的斜边中点；

当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的外部. 对应练习1：

AOBC

3

探究2 尺规作图

独立思考后，在小组内讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论．

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：

已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h AhBaDCBahDC( )AAhBaCDA1

A1A1

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点

4

作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．（见几何画板课件）

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”

（3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

3、例题精讲

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a；

2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

（6）做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确性加以更正。

4、素养提升

（1）做一做：

已知直线l和l上一点P，利用尺规作

l

的垂线，使它经过点P.

教师给予提示，学生独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由。

MABDNC

5

（2）议一议：

已知直线

l和直线外一点P，利用尺规作

l

的垂线，使它经过点P. 学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由。

5、课堂总结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．

6、课堂检测

1.

如图，边长为3的等边△ABC内一点O到三个顶点的距离都相等，则OA=

2.

利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（ ）

3.

如图，已知ΔABC，（1）求作AC边上的高；（2）求作AB边上的高.

7.课后作业

习题1.8第1、3题（必做题）

第4题 （选做题）

四、教学反思

1.在画完三角形的三条边的垂直平分线后，通过直观观察，学生会理所当然地认为三角形的三条边的垂直平分线是交于一点的，不需要证明，这时候，就需

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要老师去引导学生理解，两条垂线必交于一点，需要证明第三条垂线经过这一点，并联想到利用线段的垂直平分线的判定定理：到线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

2.学生的作图能力比较薄弱，无论是本节课的作垂直平分线还是下节课所学的作角平分线，都需要学生能够规范作图，并正确表述其作法，理解作图的依据，加深学生对定理的理解；

3.本节课采取讲练结合的方法，通过教师点拨、学生独立思考、小组内交流讨论等多种途径实现重难点的突破，让学生在学中做，在做中学，发展从数学问题中抽象、归纳出结论的能力，进一步发展合情推理、归纳演绎的能力。

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