公因数、公倍数第二课时 公开课

公因数和公倍数

教学目标:

1、两个数的公倍数、最小公倍数的意义,求最小公倍数的方法。

2、两个数的公因数、最大公因数的意义,求最大公因数的方法。

3、最小公倍数与最大公因数的应用

4、用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。

重、难点透视:

1、了解最小公倍数、最大公因数的含义并会应用他们解决实际问题。

2、为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

知识点剖析:

1、两个数的公倍数、最小公倍数的意义,求最小公倍数的方法。

2、两个数的公因数、最大公因数的意义,求最大公因数的方法。

3、最小公倍数与最大公因数的应用

4、使用古代“辗转相除法”求最大公因数,以及现代人们用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。

教学时数:四课时

教学过程:

导入:对于象6既是2的倍数,又是3的倍数,如果让你给它起个名字,应该叫什么呢?公倍数在实际生活中到底有什么作用呢?这就是我们就要研究的内容。

一、两个数的公倍数、最小公倍数的意义,求最小公倍数的方法。

1、顺次写出:5个2的倍数;和5个3的倍数。

2、观察2和3的倍数,你发现了什么?

例1:

(1)思考猜想:用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形,能铺满哪个正方形?

(2)通过操作的活动,你们发现了什么?

3、引导:

(1)用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺边长6厘米的正方形,每条边各铺了几次?怎样用算式表示?

⑵铺边长8厘米的正方形呢?每条边都能正好铺满吗?

根据刚才铺正方形的过程,在头脑里想一想,用3厘米、宽2厘米的长方形纸片都能正好铺满边长多少厘米的正方形?

4、揭示概念。

讲述:6、12、18、24……既是2的倍数,又是3的倍数,它们是2和3的公倍数。

说明:因为一个数的倍数的个数是无限的,所以两个数的公倍数的个数也是无限的,同样可以用省略号表示。

例2:

(1)6和9的公倍数有哪些?其中最小的公倍数是几?你能试着找一找吗?

预设的方法有：

① 依次分别写出6和9的公倍数，再找一找。

② 先找出6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。 ③ 先找出9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。 2、点拨：

(1)你是怎样找到6和9的公倍数的？又是怎样确定6和9的最小公倍数的？ (2)②和③有什么相同的地方？哪一种方法简捷些？

(3)明确6和9的公倍数中最小的一个是18，指出：18就是6和9的最小公倍数。 3、用集合图表示。

（2）指导学生填集合图，引导：12是6和9的公倍数吗？为什么？27呢？哪几个数是6和9的公倍数？

练一练：

1、在2的倍数上面画上“

”

，在5

的倍数上面画上“

”

2和5的公倍数有 ，最小公倍数是

2、把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出他最小公倍数。 6的被数 8的倍数 6的倍数 8的倍数 6和8的公倍数

思考：这里在图中要写省略号吗？为什么？如果没有“50以内”这个前提呢？

二、两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法 1、顺次写出：12的因数和16的因数。 2、观察12和16的因数，你发现了什么？

3、导入:对于象1、2、4既是12的因数，又是16的因数，如果让你给它起个名字，应该叫什么呢？

（1）思考猜想：用边长6厘米和4厘米的正方形纸片分别铺长18厘米宽12厘米的长方形，哪种纸片能将长方形铺满？

①用边长4厘米的正方形铺长18厘米、宽12厘米的长方形纸片，长、宽各铺了几次？怎样用算式表示？

②用边长6厘米的正方形铺长18厘米、宽12厘米的长方形纸片，长、宽各铺了几次？怎样用算式表示？

（2）看操作的结果和猜想的结果一样吗？ （3）过操作的活动，你发现了什么？

4、总结：只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能铺满这个长方形。 5、揭示概念。

讲述：1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。 讨论：4为什么不是12和18的公因数。

点拨：因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的。 （1）8和12的公因数有哪些？其中最大的公因数是几？你能试着找一找吗？ 方法有：

①依次分别写出8和12所有的因数，再找出公有的因数，再从公有的因数中找出最大的因数。

② 先找出8的因数，再从8的因数中找出12的因数然后找出最大的。 ③ 先找出12的因数，再从12的因数中找出8的因数，然后找出最大的。 4、用集合图表示。

(4)比较上面4种方法，哪一种方法简捷些？

2、总结点拨：8和12的公因数中最大的一个是4，4就是8和12的最大公因数。 练一练：

1、在18的因数上画“

”

，在30

的因数上画“

”。

18和30的公因数有 ，最大公因数是 2、把15和20的因数公因数分别填在下面的圈里，，再找出它们的最大公因数。 15的因数 20的因数 15的因数 20的因数 思考：在图中要写的因数是有限还是无限？为什么？ 三、最小公倍数与最大公因数的应用 学习重点：根据最小公倍数和最大公因数的有关知识解决实际问题。灵活应用最小公倍数和最大公因数的知识解决实际问题。

最小公倍数和最大公因数在我们生活中能解决许多很有意义的实际问题，你们想掌握这项技能吗？

四、课堂练习。

例1、用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成正方形的边长最小是多少厘米？

(1)观察拼成的正方形，边长各是多少，是怎样得来的。

(2)正方形的每条边长分别是（ ）和（ ）的倍数，

(3)要使正方形的边长要最小，也就是求（ ）和（ ）的最小公倍数。

例2、把一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？ 1、在图中画一画。 2、观察画成的正方形，边长各是多少，是怎样得来的。 正方形的每条边长分别是（ ）和（ ）

的因数，要使正方形的边长要最大，并且没有剩余，也就是要求出（ ）和（ ）

的最大公因数。

3、总结：上面应用最小公倍数和最大公因数解决实际问题的案例，我们要先进性认真分析，看用到那些知识进行解决，然后在进行计算，有疑问说出来请大家帮助解答。

例3、自主探究。

（1）把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一个可以锯多少段？ 45厘米

30厘米

（2）在一张长60厘米的纸条上，从左端起，先每隔3厘米画一个红点，再从左端起，每隔4厘米画一个红点。纸条的两个端点都不画。最后，纸条上共有多少个红点？

五、用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数 例：12和18的最大公因数和最小公倍数可以这样求：

………先同时除以公因数2 ……….再同时除以公因数3

1为止 把所有的除数连乘，得到： 12和18的最大公因数是2*3=6

把所有的除数和最后的两个商连乘。得到： 12和18的最小公倍数是2*3*2*3=36

用短除法求2个数的最大公因数和最小公倍数，一般都用这两个数除以他们得公因数，一直出道所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数，把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。两个数的最大公因数可以用（）表示，最小公倍数可以用[ ]表示。12和18的最大公因数是6，可以表示为（12,18）=6。12和18的最小公倍数是36，可以表示为[12,18]=36。

六、总结:

1、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身,一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

2、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。几个数的公倍数也是无限的。

3、两个数公有的因数,叫做这两个数的公因数,其中最大的一个,叫做这两个

数的最大公因数。两个数的公因数也是有限的

4、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。

5、求最大公因数和最小公倍数的方法:倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。

6、互质关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。

一般关系的两个数,求最大公因数用小数列举法或短除法,求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。