复习参考题名师教学视频（文字实录）

空间角（一）

——线线角与线面角

公开课教案

学校：

资中一中

年级：

高15级9班

教师：

王蔓

课型：

复习课

时间：

2014.01.03

空间角——线线角、线面角

〔教学目标〕

1、知识与技能（1）理解异面直线所成角的概念，并掌握求异面直线所成角的常用方法；

（2）理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角的常用方法；（3）掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”；

2、过程与方法

（1）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。（2）逻辑思维与运算能力：通过对线线角、线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。

3、情感态度与价值观

体验线线角线面角求解过程中，空间角转化为平面角的愉悦，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。

〔教学重点〕

利用“平行”与“垂直”把空间角构造成平面角。

〔教学难点〕

找出（或作出）直线的平行线，找出（或作出）平面的垂线，把空间角构造成平面角；

一、知识回顾

问题1：空间角包含哪些角？（异面直线成角，线面成角，面面成角）

b （0，]）

问题2：异面直线的定义及其范围？（范围21.两条异面直线所成的角

（0，]。

（1）异面直线所成的角的范围：2a a’

图1 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b

垂直，记作ab。

（3）求异面直线所成的角的方法：

平移法：

即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移等。

补形法：

把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

问题3：线面成角的定义及其范围？

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。

直线和平面所成角范围：0，。

2P 求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线在平面内的射影；

O

A （2）求线面成角的方法：

图2 一是直接法——定义法，即找出至直线在平面内的射影进而找出线面角再求之。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形（直角三角形）中计算。

2

二是等体积法——不找（作）线面角，直接利用点到平面的距离（借助等体积法）及斜线段的长求出线面角的正弦值。

二、例题分析

例1：如图1长方体ABCDA1BC求异面直线AC11D1ABAA12cm，AD1cm，111与BD所成的角。

析：解决异面直线成角问题，主要在与将两异面直线通过平移、补形等方式转化为相交直线成角问题

解法一：平移法

解法二：补形法

D1

A1

B1

D C A B 图3 C

1

问题4：异面直线成角问题有哪些方法？

（0，]，求两异面直线所成角的方法

说明：异面直线的范围2平移法：

即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

补形法：

把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等

SBA45，SBC=60,

M

为

例2（

如图4 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC

两两垂直，AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解:（1）

∵SC⊥SB,SC⊥SA,

∴SC⊥平面SAB 故

SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，

∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）

解法一：连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, S ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H,

则SH⊥平面ABC ∴CH即为

SC 在面ABC内的射影。

∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。

sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7 解法二：等体积法

说明：线面成角的范围，[0°，90°] 求线面成角的方法

一是直接法——定义法，即找出直线在平面内的射影进而找出线面角再求之

；

二是等体积法——不找（作）线面角，直接利用等体积法找出点到平面的距离h及斜线段的长l求出线面角的正弦值sinC B M A 图4 h

l

3

三、反馈练习

1、在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点。

（1）求CE与AF所成的角；（2）求直线CE与平面BCD所成的角。

A E D F B 图5 C

2、已知等腰ABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。

P

C

A B

图6 四、小结

1、

重点掌握线线角、线面角的定义

2、

掌握求线线角的两种方法：平移法、补形法

3、

掌握求线面角的两种方法：定义法、等体积法

五、作业布置

六、板书设计

一、知识回顾

多媒体展示

三、例题分析

1、线线角

1）定义

2）范围

四、小结

3）求解方法

2、线面角

七、附录

确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

、

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