2.1.4 平面与平面之间的位置关系课件配套优秀教案设计

第4课时

直线与平面、平面与

平面平行的判定

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.

2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.

3.初步了解空间问题转化为平面问题的数学思想.

下图是2010年上海世博会“中国馆”,你能从中找出直线与平面、平面与平面平行的位置关系吗?如何判断直线与平面、平面与平面平行的位置关系呢?

问题1:判断平面外的一条直线与平面平行只需在平面内找出一条直线与该直线平行即可;判断两个平面平行,只需在一个平面内找出

与另一个平面平行即可,它们分别是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

符号语言:若

,则a∥α.

若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

符号语言:若

,则α∥β.

问题2:证明直线和平面平行的方法归纳: (1)定义法:根据条件判断已知直线与平面

,但要说明直线与平面无公共点往往比较困难,所以一般不采用定义法.

(2)判定定理:在已知平面内找出一条直线,而这条直线与已知直线

,从而符合判定定理的条件,进而可判定已知直线和已知平面平行.找“线线平行”常用以下方法: ①空间直线平行关系的传递性法; ②三角形中位线法; ③平行四边形法; ④成比例线段法.

问题3:证明平面和平面平行的方法归纳: 证明两个平面平行除了可以用两个平面平行的判定定理外,还可以用以下两种方法: (1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面

; (2)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,即平面平行具有

.

这两个结论都可以用两个平面平行的判定定理推导得出,可以看作该定理的推理.

问题4:证明直线和平面平行、平面和平面平行的基本思路.

(1)证明直线和平面平行的基本思路:直线和平面平行的判定可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若

平行,则

平行”.由此可以看出,要证明平面外的一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出

和已知直线平行,就可以判定已知直线和这个平面平行.

(2)欲证两个平面平行,只需证明一个平面内的两条

直线同另一个平面平行,而证明线面平行则需要证明线线平行,由此可见,证明面面平行的基本思路为

、

、

.

直线与平面平行的判定

在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证:EF∥平面ABCD.

平面与平面平行的判定

如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:平面A1EB∥平面C1AD.

线面平行,面面平行的开放性问题

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、N分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD、BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足什么条件时,有MN∥平面B1BDD1?(填上一个正确的条件即可)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.

证明:BC1∥平面A1CD.

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:两条相交直线

a⊄α,b⊂α,a∥b a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β

问题2:(1)没有公共点

(2)平行

问题3:平行

传递性

问题4:(1)线线

线面

一条直线

(2)相交

线线平行

线面平行

面面平行

重点难点探究

探究一:

【解析】分别取AB、BC的中点G、H,连接EG,FH,GH.

则由三角形中位线性质知: EG∥FH,且EG=FH, ∴四边形EGHF是平行四边形, ∴EF∥GH.

∵EF⊄平面ABCD,而GH⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD.

【小结】本题利用中点关系构造平行四边形,从而在平面ABCD内确定了与EF平行的直线.利用中点关系确定线线平行是一种非常重要的技巧.

探究二:【解析】连接DE.

由DE∥BB1,又BB1∥AA1,∴DE∥AA1.

由DE=BB1,又BB1=AA1,∴DE=AA1, ∴四边形A1EDA是平行四边形,A1E∥AD.

∵A1E⊄平面C1AD,AD⊂平面C1AD, ∴A1E∥平面C1AD.

易证得EB∥C1D,EB⊄平面C1AD,C1D⊂平面C1AD, ∴EB∥平面C1AD.

又A1E∩EB=E,平面A1EB经过A1E和EB, ∴平面A1EB∥平面C1AD.

【小结】要证明面面平行,关键是把问题转化为线面平行,再利用线面平行的判定方法进行证明.该问题还可利用“一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行”的方法证明.

探究三:【解析】M在FH上.

理由:(1)当M为H点时, ∵H、N为棱CD、BC的中点,∴HN∥BD.

∵BD⊂平面B1BDD1,HN⊄平面B1BDD1, ∴HN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.

(2)当M为F点时,取BD的中点P,连接PN、FN、D1P, ∵N为BC中点,F为D1C1中点, ∴PN∥D1F,PN=D1F, ∴四边形D1PNF为平行四边形,∴FN∥D1P.

∵D1P⊂平面B1BDD1,FN⊄平面B1BDD1, ∴FN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.

(3)当M为FH上任一点,作MQ∥D1C1,交D1D于点Q, P为BD的中点, 易知四边形MQPN为平行四边形, ∴MN∥PQ.

∵PQ⊂平面B1BDD1,MN⊄平面B1BDD1, ∴MN∥平面B1BDD1.

综上可知,M在线段FH上.

【小结】这类问题常将几个特殊点作为突破口,探究它们适合的条件,然后说明该条件下的一般点也满足题意,从而可确定问题的答案.

全新视角拓展

【解析】连接AC1交A1C于点O, 则OA=OC1,且DA=DB, ∴DO是△ABC1的中位线, ∴DO∥BC1,又DO⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1DC, ∴BC1∥平面A1DC.