小结教案3

课题：《高考专题

构造法解导数问题》

教学设计

安徽省宣城市第二中学 孙

宏

专题概述: 函数方程思想、转化化归是两个比较重要的数学思想,在函数导数中巧妙构造函数能比较好地体现这两种思想,常见的题型有两类:一类不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导函数满足的条件,需要根据此条件构造抽象函数,应用该抽象函数的性质解决问题,另一类根据题目的条件,甚至将某些条件等价变形,构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不等式及求值问题,下面总结一些基本的类型及其处理技巧.

技巧一

只含f′(x)类

【例1】

定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意x∈R都有f′(x)<错误！未找到引用源。,则不等式f(x2)>x21错误！未找到引用源。的解集为( 2

) (A)(1,2) (B)(0,1) (C)(1,+∞) (D)(-1,1) 解析:构造函数g(x)=f(x)-错误！未找到引用源。x+c(c为常数), 则g′(x)<0,即函数g(x)在R上单调递减, 且g(1)=f(1)-错误！未找到引用源。+c=错误！未找到引用源。+c.f(x2)>错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。x2+错误！未找到引用源。,即f(x2)-错误！未找到引用源。x2+c>错误！未找到引用源。+c, 即g(x2)>g(1),即x2<1,即-1

方法点晴

对于f′(x)+k<0(或>0,≥0,≤0等)可利用(f(x)+kx+b)′=f′(x)+k,根据导数符号,构造并利用函数g(x)=f(x)+kx+b的单调性,利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等.

技巧二

含f(x)±f′(x)类

【例2】已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(

) (A)e2 016f(-2 016)e2 016f(0) (B)e2 016f(-2 016)

1

(C)e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)>e2 016f(0) (D)e2 016f(-2 016)>f(0),f(2 016)0错误！未ee找到引用源。,即e2 016f(-2 016)>f(0); f2016错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。,即f(2 016)

方法点晴

由于ex>0,故[exf(x)]′=[f(x)+f′(x)]ex,其符号由f(x)+f′(x)的符号确定, [错误！未找到引用源。]′=错误！未找到引用源。,其符号由f′(x)-f(x)的符号确定.含有f(x)±f′(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数.

技巧三

含xf′(x)±nf(x)类

【例3】 f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为

. 解析:构造F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x),当x<0时,f(x)+xf′(x)<0, 可以推出x<0,F′(x)<0,F(x)在(-∞,0)上单调递减. 因为f(x)为偶函数,y=x为奇函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4). 答案:(-∞,-4)∪(0,4) 【例4】

已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是

. fxfxx2fx解析:构造F(x)=2错误！未找到引用源。,则F′(x)=3错误！未xx找到引用源。, 当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0,可以推出x>0, F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x)为偶函数,y=x2为偶函数,所以F(x)为偶函数, 所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1). 答案: (-1,0)∪(0,1).

2

方法点晴

fx(1)由于[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),[错误！未找到引用源。]′x=xfxfxx2错误！未找到引用源。,后者导数的符号与xf′(x)-f(x)一致.在含有xf′(x)±f(x)类问题中,可以考虑构造上述函数. (2)F(x)=xnf(x),F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)]; fxfxxnnxn1fxF(x)=错误！未找到引用源。,F′(x)=错误！未找到引用源。xnx2n=xfxnfxxn1错误！未找到引用源。; 结论:出现nf(x)+xf′(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);出现xf′(x)-nf(x)形式,fx构造函数F(x)=错误！未找到引用源。. xn

技巧四

构造具体函数解析式

【例5】

若α,β∈[-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。],且αsin α-βsin β>0,则下列结论正确是(

) (A)α>β

(B)α2>β2 (C)α<β

(D)α+β>0 解析:构造f(x)=xsin x形式,则f′(x)=sin x+xcos x,x∈[0,错误！未找到引用源。]时导函数

f′(x)≥0,f(x)单调递增;x∈[-错误！未找到引用源。,0)时导函数f′(x)<0,f(x)单调递减.又因为f(x)为偶函数,根据单调性和图象可知选B.

方法点晴

结合具体条件、结论或等价变形结论使之适应于某函数的性质,或具备某种函数的几种性质,由此构造具体函数,利用函数的导数和性质求解.

谈谈收获: 构造法解导数问题

知识点、方法

技巧一

只含f′(x)类

技巧二

含f(x)±f′(x)类

题号

例1 例2

3

技巧三

含xf′(x)±nf(x)类

技巧四

f(x)±f′(x)tan x类

技巧五

构造具体函数解析式

课后作业：

一、课后反思与体验

１、本节课我复习到了哪些知识？

２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的？

３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？

４、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。

二、练习题：课时集训

例3、4 例5 例6

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