3.1.3 导数的几何意义教学设计(第一课时)

课题：3.1.1.-3.1.2变化率问题与导数的概念

【学习目标】

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 4.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 5.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 6.会求函数在某点的导数. 【学***均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率、导数的概念

【重点难点】平均变化率的概念、导数的概念

【课内探究】

(一)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)x表示,称为函数f(x)从x1到x2的平2x1均变化率. 2.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1x代替x2, 同样fyf(x2)f(x1)) 则平均变化率为yf(x2)f(x1)f(x1x)f(xfxx1)xx

21x思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率ff(x2)xf(x1)x表示什么?:学.科.网]2x[来源

1

(二)瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

（三）导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是: )f(x0)limf(x0xx0xflimx0x

我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数, 记作f'(xf(x0x)f(x0)0)或y'|xx0即f(x0)limx0x

说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; (2)xxx0,当x0时,xx0,所以f(xf(lx)fx0()0)xx0xixm

0

（三）、典例分析

问题1：求平均变化率

例1 已知函数f(x)x2x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y)则yx .

变式：

求yx2在xx0附近的平均变化率.

问题2：求导数

例1 (1)求函数y3x2在x1处的导数. (2)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数.

[来源:学+科+网]

课堂反馈

1.质点运动规律为st23,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 .

2.物体按照s(t)3t2t4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.设函数yfx，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（

）A

fx0x

B

fx0x

C

fx0x

D

fx0xfx0

4.将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加S等于（

）A

8RR

B

8RR4R2

C

4RR4R2

D

4R2

5.在曲线yx21的图象上取一点（1,2）及附近一点1x,2y，则yx为

A

x12

B

x12

C

x2

D

2x1来源学&科&网Z&X&X&K]

xxx

课后作业

1．自变量由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（

）

A 在区间[x0,x1]上的平均变化率

B 在x0处的变化率

C 在x1处的变化率

D 在区间[x0,x1]上的导数

2．下列各式中正确的是（

）

A y'|xx0limf(x0x)f(x0)x

B f'(xf(x0x)f(x)x00)lim

x0xC y'|f(x0x)f(x0)xx'f(x0)f(x0x)0limx0x

D f(x0)lim

x0x3．设f(x)ax4，若f'(1)2，则a的值（

）

A

2

B .

－2

C

3

D

－3 4．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是（

）

A

0

B

3

C

－2

D

32t

15．函数yxx，

在x1处的导数是

6．yx31，当x2时

，limyx

x07．（1）已知f(x)在xxx)f(x0处的导数为A,求limf(x00)x0x及limf(x02x)f(x0)的值。

x0x（2）若f(x0)2,求limf(x0h)f(x0h)的值. h0h

3.1.3导数的几何意义

【学习目标】

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 【学习重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义

【学习难点】导数的几何意义.

【课内探究】

一、创设情景

(一)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、学习新知

(一)曲线的切线及切线的斜率

如图,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么？

我们发现:

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

说明: (1)设切线的倾斜角为, 那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2)曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. (二)导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(xf(x0x)f(x0)0)limx0xk

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x处的变化率f(xf(x0x)f(x0)00)limx0xk得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (三)导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)yf(xx)f(x)limx0x.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (四)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. (3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是求函数在点x0处的导数的方法之一. 三、典例分析

例1 (1)求曲线yf(x)x21在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y3x2在点(1,3)处的导数.

例2求曲线yf(x)x3在点(1,1)处的切线.

四、课堂练习

求曲线yx在点(4,2)处的切线.

五、课堂反馈

1．已知曲线y2x2上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（

）

A

4

B

16

C

8

D

2 2．函数yf(x)在xx/0处的导数f(x0)的几何意义是（

）

A

在点xx0处的函数值

B

在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值

C

曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

D

点(x0,f(x0))与点（0，0）连线的斜率

3．已知曲线yx3上过点（2，8）的切线方程为12xax160，则实数a的值为（

）

A

－1

B

1

C

－2

D

2来源:Zxxk.Com]

4．若f/(x3，则limf(x0h)f(x03h)0)h0h＝（

）

A

－3

B

－6

C

－9

D

－12 5．设f(x)为可导函数，且满足条件limf(1)f(1x)x02x1，则曲线yf(x)在点

（1，1）处的切线的斜率为（

）

A

2

B

－1

C

12

D

－2 6．

已知曲线yx21上的两点A（2，3），B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是__________，当x0.1时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。

7．．如果函数f(x)在xx0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在xx0附近的变化情况是__________________。

8．在曲线yx2上过哪一点的切线，（1）平行于直线y4x5；

（2）垂直于直线2x6y50；（3）与x轴成135的倾斜角；

（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。

3.2.1几个常用函数导数

【学习目标】

1.握四个公式，理解公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题。

【学习重点】

1四种常见函数yc、yx、yx2y、x的导数公式及应用。

【预习案】

【导学提示】

任务一：导数的几何意义是：曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

任务二：求函数yf(x)的导数的一般方法：___________________________来源学科网

（1）求函数的改变量y

__________________________

y（2）求平均变化率x

__________________________

（3）取极限，得导数y/＝f(x)limyx0x

=

__________________________________

【探究案】

探究一：

1．利用导数定义求函数yf(x)c的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2.利用导数定义求函数yf(x)x的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数yf(x)x2的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

yf(x)14．利用导数定义求函数x的导数。

5．利用导数定义求函数yx的导数。

6．你能从一般角度推广函数yf(x)xn(nQ*)的导数吗？

探究二：

在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

例：画出函数y1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。

[来源:学科网]

变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程。

变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程。

[来源学科网

]

【训练案】

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9

23. 在曲线yx上的切线的倾斜角为4的点为（

）

A．(0,0)

B．(2,4)

C．(11114,16)

D．(2,4)

4. 过曲线y1x上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

.

6. 求曲线y2x21的斜率等于4的切线方程.

7. 求函数yf(x)x的导数

[来源学科网ZXXK]

8. 已知圆面积Sr2，根据导数定义求S(r)