2.2.4 平面与平面平行的性质课堂实录

2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用

项目

课题

（共 1 课时）

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；

2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；

4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；教学

目标

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学重点

1.等比数列前n项和公式的推导教学2.等比数列前n项和公式的应用重、

教学难点

等比数列前n项和公式的推导难点

教学

多媒体课件

准备

教学过程

导入新课

师

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个

1 内容

2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用

修改与创新

故事大家听说过吗？ 生

知道一些，踊跃发言

师

“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求

师

假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生

各持己见.动笔，列式，计算生

能列出式子：麦粒的总数为

1+2+2+…+2263

师

这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：

1+2+2+…+2=? 师

我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：

记S=1+2+2+2+…+2 ，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每

一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

课件展示：

S=1+2+2+2+…+22323 6323632 63

642S=2+2+2+…+2+2②-①得

2S-S=2-64 6463

192-1这个数很大，超过了1.84×10，假定千粒麦子的质量为40 g，那2

么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师

国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识推进新课

［合作探究］

师

在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q+…+q=？

师

这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生

观察、独立思考、合作交流、自主探究

2

n师

若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

生

q+q+…+q+q2n n+1

生

每一项就成了它后面相邻的一项师

对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师

生共同探索：

如果记Sn=1+q+q+…+q那么qSn=q+q+…+q+q22n

.

nn n+1要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-q师

提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值

1qn生

如果q≠1，则有S1q

师

当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果生

如果q＝1，那么Sn=n

师

上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？

课件展示：

a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

3

师

在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法

师

在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记Sn=a1+a2+a3+…+an那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+an

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-an师

再次提醒学生注意q的取值如果q≠1，则有Sn

a1anq1q师

上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记Sn=a1+a1q+a1q+…+a1q

22n-1

n那么qSn=a1q+a1q+…+a1q+a1qn-1n要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1q

a1(1qn)如果q≠1，则有Sn1q

师

上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式

师

现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？ 生

独立思考、合作交流生

如果q＝1，Sn=na1师

完全正确

如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？

4

生

正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍

师

对了，这就是认清了问题的本质师

等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：aa2a3a4...nqa1a2a3an1

再由合比定理，则得a2a3a4...anqa1a2a3...an1即Sna1qSnan

从而就有(1-q)Sn=a1-an(以下从略

思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),

从而得(1-q)Sn=a1-an(以下从略

师

探究中我们们应该发现，Sn-S n-=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

生

n＞

师

对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞师

综合上面的探究过程，我们得出：

na1,q1,na1,q1,Sna1(1qn)或者a1anqq1

1q,q11q,［例题剖析］

例1 在等比数列{an}中，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

5

(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. ［合作探究］

师生共同分析：

a11＋q＝30，（1）解

由题意知

2a11＋q＋q＝155，a1＝180，a1＝5，解得或5q＝5，q＝－6.

51 080×[1－－6n]15从而Sn＝4×5n＋1－4或Sn＝. 112a1＋a1q＝10，（2）解

方法一

由题意知5a1q3＋a1q5＝4，

a1＝8，解得1q＝2，

a11－q531从而S5＝＝2. 1－q3方法二

由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q＝，从而q＝. 1812a11－q531又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝2.

1－q（3）解

因为a2an－1＝a1an＝128，

所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根. a1＝2，an＝2，从而或an＝64a1＝64.

6 a1－anq1又Sn＝＝126，所以q为2或2. 1－q总结：(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的

三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.

【例题2】设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且

a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)

求{an}，{bn}的通项公式；

an(2)求数列{b}的前n项和Sn. n

师

根据题意，

理解题意，从式子出发列出数列中的基本量，列式，计算

解

设{an}的公差为d，{bn}的公比为q. 41＋2d＋q＝21，d＝2，由题意有q＞0且解得

21＋4d＋q＝13，q＝2.

∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n－1.

（2）由（1）可知：

an2n－1bn＝2n－1，

2n－32n－135Sn＝1＋21＋22＋…＋n－2＋n－1，

22

①

2n－52n－32n－11132Sn＝21＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n，

①－②得

2n－1122222Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－2n

2n－11111＝1＋2(2＋22＋…＋n－2＋n－1)－2n

22

②

7

11n－12n＋32[1－2]2n－1＝1＋2×－n＝3－122n，

1－22n＋3∴Sn＝6－n－12. 总结：一般地，如果数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可以采用错位相减法.在作差时，要注意第一项与最后一项的处理．有时还要注意对公比q的讨论．

练习：

教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式

在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业

课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题

等比数列前n项和公式的推导与应用

等比数列的前n项和公式

板书设情境问题的推导 一般情形的推导计

练习：(学生板演) 例2 练习：(学生板演)

例1 教学反

思

8

9