习题4.2PPT配套教学设计内容

1.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，

而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系

(1)点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上

①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足

F(x，y)<0，则该点在圆内.

②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方

程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系

两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系

(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离

|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.

题型一

求圆的方程

求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程. 例1

有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程. 解

方法一

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，

a－3＋b－6＝a－5＋b－2＝r，得b－64

×＝－1.a－33925解得a＝5，b＝，r2＝. 24925y－2＝. ∴圆的方程为(x－5)2＋24方法二

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，

22222

2＋5D＋2E＋F＝0，5＋得－E－624×＝－1，D3－－322232＋62＋3D＋6E＋F＝0，

D＝－10，解得E＝－9，F＝39.

∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0. 3方法三

设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x4－3)，

即3x＋4y－33＝0. 又kAB＝6－21＝－2，∴kBP＝，

23－5∴直线BP的方程为x－2y－1＝0. 3x＋4y－33＝0，x＝7，解方程组得

x－2y－1＝0，y＝3.

995255，，半径为|AC|＝.∴所求圆的方程为(x－5)2＋y－2＝. ∴P(7,3).∴圆心为AP中点2242跟踪训练1

若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是______. 325y＋2＝

答案

(x－2)2＋24解析

因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m).

又因为圆与直线y＝1相切，所以4－22＋0－m2＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解3325y＋2＝. 得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋242题型二

直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题. 例2

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 解

(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－32|－3k－1－4k|＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0. 1＋k27即k＝0或k＝－，

24所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为1y－b＝－(x－a).因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆kC2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

5＋14－a－bk|1－k－3－a－b|1＋k2＝11＋2k，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，

从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝

－5k－4＋a＋bk，

即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，

因为k的取值范围有无穷多个，

a＋b－2＝0，a－b＋8＝0，所以或

b－a＋3＝0a＋b－5＝0，

解得1b＝－25a＝，2

或13b＝2.3a＝－，2

51313，－或点P2－，. 这样点P只可能是点P12222经检验点P1和P2满足题目条件. 跟踪训练2

已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程. 解

(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 作示意图如图，作MC⊥AB于C. 在Rt△MBC中，

|BC|＝3，|MB|＝2，

故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1，

|k－1＋3－2k|由点到直线的距离公式得＝1，

k2＋13解得k＝. 4所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0. (2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，

且|AB|＝23，所以适合题意. 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 题型三

与圆有关的最值问题

在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围. 例3

在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解

如图所示，建立平面直角坐标系，

使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0). 设内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，

则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.

故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

整理得x2＋y2－2x－2y＝－1.①

由已知得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2

＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②

由①可知x2＋y2－2y＝2x－1，③

将③代入②得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22. ∵0≤x≤2，

∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18. |PA|2|PB|2|PO|2π222又三个圆的面积之和为π＋π＋π＝(|PA|＋|PB|＋|PO|)，

2224119∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为π，最小值为π.

22

跟踪训练3

已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值. 解

设x＋y＝t，由题意，知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，

|3＋3－t|所以d≤r，即≤6. 2所以6－23≤t≤6＋23. 所以x＋y的最小值为6－23，最大值为6＋23.

题型四

分类讨论思想

分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论. 例4

已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程. 解

圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5. ①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意. ②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，

即kx－y＋4k－3＝0. 由题意可知|－k＋2＋4k－3|2822＋2＝5，

1＋k24解得k＝－，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0. 3综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.

跟踪训练4

如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程. 解

(1)设圆A的半径为r. 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

|－1＋4＋7|∴r＝＝25. 5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN. ∵|MN|＝219，

∴|AQ|＝20－19＝1，

则由|AQ|＝|k－2|3＝1，得k＝. 4k2＋1直线方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 题型五

数形结合思想

数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5

已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解

画图如下：

由直线方程易知l2平行于x轴，l1与l3互相垂直，

∴三个交点A，B，C构成直角三角形，

∴经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆.

x－2y＝0，x＝－2，由解得

y＋1＝0，y＝－1.

∴点A的坐标为(－2，－1). 2x＋y－1＝0，x＝1，由解得

y＋1＝0，y＝－1.

∴点B的坐标为(1，－1). 1∴线段AB的中点坐标为(－，－1). 2又∵|AB|＝|1－(－2)|＝3. 19∴圆的方程是(x＋)2＋(y＋1)2＝. 24|MA|1跟踪训练5

已知点A(－1,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足＝，设动点M的轨迹为C. |MB|2(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；

(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；

(3)设直线l：y＝x＋m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 解

(1)由题意，得|MA|＝x＋12＋y2，

|MB|＝x－22＋y2. x＋12＋y21|MA|1∵＝，∴＝，

|MB|2x－22＋y22化简，得(x＋2)2＋y2＝4. ∴轨迹C是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B的直线为y＝k(x－2). 由题意，得圆心到直线的距离d＝333≤k≤.即kmin＝－. 333|－4k|≤2. k2＋1解得－(3)假设存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2). y＝x＋m，联立方程

22x＋2＋y＝4，

得2x2＋2(m＋2)x＋m2＝0. m2∴x1＋x2＝－m－2，x1x2＝.

①

2m2－4my1＋y2＝m－2，y1y2＝.

②

2设以PQ为直径经过点A的圆的圆心为O，

x1＋x2y1＋y2则O的坐标为O(，)，

22|OA|＝|OP|, ＝x1＋x2y1＋y22＋12＋

22x1＋x2y2－y12－x12＋. 22整理得(x1＋x2＋2)2＋(y1＋y2)2

＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2－4x1x2－4y1y2，③

将①②代入③得m2－3m－1＝0，

3±13解得m＝. 23±13故当m＝时，存在线段PQ为直径的圆经过点A. 2

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.