探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积公开课教学设计模版

《祖暅原理与球的体积公式》教学设计

一、教学目标

1、帮助学生理解祖暅原理和运用祖暅原理解决问题的过程； 2、让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系。

二、教学重难点

重点：理解祖暅原理和球体体积公式的推导过程。

难点：把握相关几何体体积之间的关系。

三、新课引入

球体在我们的生活中无处不在，小到一颗球形的巧克力糖果，再大一点足球、篮球，再大一点，球形建筑物，甚至是宇宙中的星球，下面我们一起来观看一个视频；（宇宙中星球由小到大的展示，并标注不同大小星球对应的半径；启发学生发现球体越大，球体的半径越大，从而探索半径与球体积的关系。）

师：球体的大小与什么有关？

生：与球的半径有关。

师：视频中的星球都是用半径来描述其大小的，那么球的体积到底和它的半径之间有什么样的关系，换句话说，球的体积公式到底是什么？这就是我们今天要探究的主要问题。

四、实验猜想

排水法求体积实验

道具：一盆水、一个球体，一个底面半径与球体半径相同，高为球体直径的圆柱形量杯；

师：请同学们想一想，到底采用什么样的方法才能求出球的体积？

同学展示：

1、在圆柱形量杯里装满水，此时水的体积即为圆柱的体积；

2、将球放入量杯，使球接触到量杯底部，此时排出的水即为球的体积；

3、将球从量杯中取出，观察量杯中剩下的水；

14、通过观察，发现量杯里面剩下的水恰好占量杯体积的；

32结论：球的体积占量杯的。

3师：如果假设球的半径为R，你能得到球的体积公式吗？

224生上台板书：V球V圆柱R22RR3

333师：这个结论的得出不太严谨，接下来我们一起来验证这个结论是否成立。验证的过程我们需要用到一个原理祖暅原理，我们先来了解一下这个原理。

五、探究

1、了解祖暅原理的作用

播放讲解祖暅原理的微课。

师：看完视频，你会发现祖暅原理有什么样的作用呢？

生1：判断两个几何体体积是否相等，等高同截面积时，两几何体体积相等；

生2：用于求复杂几何体的体积。将不规则的几何体可转化为规则可求体积的几何体；

师：那我们如何应用祖暅原理求球体体积呢？

生：将球体转化为我们可以求体积的常见几何体。

师：那我们怎么转化呢？

2、球体的转化

师：如图，对一个半径为R的半球，其体积与旋转体圆柱、圆锥的体积有何大小关系？(引导学生构造模型的方向。）

师：半球体可以转化为什么样的几何体？

生1：圆台；

生2：圆柱减去圆锥；

师：如图，截面圆的面积是多少?

生：S圆R2-l2。

师：请大家观察这个式子，你能发现每个截面图形可以转化为什么样的几何平面图形？（启发学生数型转化）

生：式子可看作一个大圆面减去一个小圆面，即为一个圆环。

师：如果此时我们将半球转化后的无数个截面堆叠起来，大家会发现什么？（建模）

生：将半球体转化为圆柱内挖去圆锥的几何体。

师：此时，这个圆柱、圆锥有什么要求？

生：圆柱、圆锥的高等于半球的半径，圆柱、圆锥的底面半径等于球的半径。

3、验证猜想，得出结论

师：此时我们将半球转化为这样的一个几何体，它们此时是等体积的吗？怎么证明？

生：我们可以利用祖暅原理来判断两个几何体体积相等，只需要满足等高并且任意一个等高度的截面积都相等即可。

师：如图用一个与底面的距离为l的平面去截这两个几何体，这两个几何体的半径和高均为R。两个截面的面积分别是多少? 生：因为S圆R2-l2，S圆环R2-l2，S圆S圆环，利用祖暅原理，这两个几何体体积相等。

师：你能得出什么样的结论？

生:

112V球V圆柱-V圆锥R3-R3R32334V球R33

师:通过我们严密的推理论证,验证了我们的猜想,大家一起来观察一下这个式子,大家有什么发现? 生:球的体积只与其半径有关.

六、公式的应用与巩固

七、课堂小结

重点：理解祖暅原理和球体体积公式的推导过程。

难点：把握相关几何体体积之间的关系。通过本节课学习，谈谈你的感受？