3.3.4 两条平行直线间的距离PPT配套优秀教学设计内容

课

题：7.3两条直线的位置关系（五）

教学目的：

1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；

2.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系

教学重点：两条直线平行和垂直的条件应用

教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题

授课类型：练习课

课时安排：2课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、知识点汇总： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直

2．斜率存在时两直线的平行与垂直：

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2k1=k2且b1b2

王新敞已知直线l1、l2的方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)

l1∥l2的充要条件是A1B1C1

A2B2C2王新敞⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k21．

已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20．

3.直线l1到l2的角的定义及公式：

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直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.

l1到l2的角：0°＜＜180°，

如果1k1k20,即k1k21,则2.如果1k1k20，tank2k1

1k2k1王新敞4．直线l1与l2的夹角定义及公式: l1到l2的角是1,

l2到l1的角是π-1,当l1与l2相交但不垂直时, 1和π-1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是.夹角：0°＜≤90°

2如果1k1k20,即k1k21,则.如果1k1k20，2王新敞tank2k1

1k2k1王新敞5．两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：

A1xB1yC10是否有惟一解

AxByC0222王新敞6．点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d7．两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

Ax0By0CAB22

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为d二、直线系方程

8．直线系方程

C1C2AB22

王新敞若两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交点，

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则过l1与l2交点的直线系方程为(A1xB1yC1)＋(A2xB2yC2)0或(A2xB2yC2)+(A1xB1yC1)0

(λ为常数)

三、讲解范例：

例1 两条直线ykx2k1和x2y40的交点在第四象限，则k的取值范围是( ) A.（－6，2） B.（－1111，0） C.（－，－）D.（，＋∞) 6262解法一：解方程组∵此点在第四象限

x2y404k26k1,得交点为(－）

2k12k1ykx2k1y4k202k1即∴6k102k1∴－11k,22

11k.26P(-2,1)OA(4,0)xBQ11k，故选C. 26解法二：如图，直线x2y40与x轴的交点是A（4，0），方程ykx2k1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x2y40平行的直线

由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率kPB＜k＜kPA

王新敞而kPA＝－1111，kPB＝－，所以－＜k＜－ 故选C. 6226评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会

例2 求证：不论m为什么实数，直线(m1)x(2m1)ym5都通过一定点

证法一：取m＝1，得直线方程y＝－４；再取m＝1，得直线方程为x＝9.

2

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从而得两条直线的交点为(9，－４），又当x＝9，y＝－４时，有

9(m1)(4)(2m1)ym5

即点(9，－４）在直线(m1)x(2m1)ym5上，

故直线(m1)x(2m1)ym5都通过定点(9，－４）

证法二：∵(m1)x(2m1)ym5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0，

则直线(m1)x(2m1)ym5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点. 由方程组x2y10，解得x＝9，y＝－４，即过点(9，－４）

xy50所以直线(m1)x(2m1)ym5经过定点(9，－４). 证法三：∵（(m1)x(2m1)ym5，

∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5 由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为R，

∴x2y10，解得x＝9，y＝－４

xy50所以直线(m1)x(2m1)ym5都通过定点(9，－４）

王新敞例3 若abc0，求证直线axbyc0必经过一个定点. 证明：由abc0，且a,b不同时为0，设b≠0，则a(bc)

代入直线方程axbyc0，得(x－y）＋c（x－1）＝0. b此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程. 解方程组xy0得x＝1，y＝1 x10

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即两直线交点为(1，1），故直线axbyc0过定点(1，1). 点评：以上例题是直线系的应用问题

王新敞例4已知点A的坐标为(－４，４），直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线l关于点A的对称直线l的方程. 解：(1)设点A′的坐标为（x′，y′）. 因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3，所以kAA′＝1. 3y4y41,所以

又因为kAA＝x4x43王新敞再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是(x4y4x4y4,)，所以3·－2＝0

2222由①和②，解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2，6)

王新敞王新敞(2)关于点A对称的两直线l与l互相平行，于是可设l的方程为3x＋y＋c＝0.在直线l上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l上，且MM′的中点为点A，由此得

x0y24,4，即：x′＝－８，y′＝6. 22于是有M′（－８，6）.因为M′点在l上，

所以3（－８）＋6＋c＝0，∴c＝18

王新敞故直线l的方程为3x＋y＋18＝0

王新敞例5光线由点A(1,4)射出，遇到直线l：2x3y60后被反射，已知其B(3,62)，求反射光线所在直线的方程. 13y0A3,x12解：设点A关于l的对称点为A(x0,y0)，则0

2x013y046022

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29x,03x02y011013解得即

2x03y020y028.136228621313所求直线方程为y(x3)，即13x26y850

2913313王新敞点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题. 例6 求直线l1:2x+y-5=0,l2: x+3y-4=0的夹角，l1到l2的角1，l2到l1的角2

王新敞解：由两条直线的斜率k1=-2,k2=-1，得

312k2k1331.，tan1＝1，1＝，2=π-＝tan=. 21k1k2444413点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序.一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于π. 例7

已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线y=x-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值.

解：设P（t，t－2），则kAP＝当t＝3时，∠APB＝0当t＜3时，

tanAPB＝t3t3，

,kBPt1t1

yA(-1,1)B(1,1)kAPkBP1kAPkBP14(3t)33t≤1 O1P23x当且仅当3－t＝4，即t＝1时等3t

∴P是(1,-1)时，∠APB有最大值4；

当t＞3时，同法可求∠APB的最大值是arctan1

7王新敞结论：当P点的坐标是（－1，1）时，∠APB有最大值

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4

王新敞

说明：P点在直线y=x-2上，将点P坐标可设成(t,t-2)，而AB∥x轴，所以需分P在直线AB上、在直线AP的上方、下方三种情况讨论.

例8 已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程. 解：直线BC的斜率kBC＝－∵直线AC与直线BC∴直线AC的方程为y－4＝即3x－2y－7＝0

∵∠ABC＝45

2，

3

3（x－52

∴kABkBC1,1kABkBCkAB12kAB3231

1kAB＝－5或kAB＝. 5∴AB边所在的直线方程为:y－4＝1（x－5）或y－4＝－5（x－55

即x－5y＋15＝0或5x＋y－29＝0

说明：此题利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程. 例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程：

王新敞l1:x+3y-4=0, l2:5x+2y+6=0.

解法一

x3y40x2,所以l1与l2的交点是(-2,2)，由两点式得所求,得5x2y60y2直线的方程为解法二:∵点(2，3)在直线上.

y3x2,即x-4y+10=0.

2322，

x+3y-4+λ(5x+2y+6)=0(λ∈R）λ＝－∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝07. 22x+3y-4+(-7)(5x+2y+6)=0.22x-4y+10=0. 例10 k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在

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第一象限. 1212kxykx3k24k1

解：由得x4y40y7k24k11212k024k1＜k＜1. 77k204k12＜k＜1时，两直线的交点在第一象限

7说明：k为何值时，两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成即当的方程组，求出交点坐标，让横坐标大于0，纵坐标大于0，而后解不等式组即得k的范围. 例11 求点P（3，－2）到下列直线的距离：

31（2）y＝6；（3）y轴.

x；4431解：(1)把方程y＝x写成3x－4y＋1＝044 (1)y＝

d＝334(2)13(4)2218

5王新敞(2)因为直线y=6平行于xd＝｜6－（－2）｜＝8.

（3）d＝｜3｜＝3.

说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，x=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. 例12

求与直线l：5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程. 解：设所求直线的方程为5x-12y+c=0.在直线5x-12y+6=0上取一点P（，00，）点P0到直线5x-12y+c=0的距离为

1212d=1c225(12)2c613，由题意得c613=2.所以c=32或c=-20. 所以所求直线的方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.

说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这

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点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离.

例13

已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程. 解：正方形中心G(－1，0)151322610. 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y－c1＝0.

则1c110610，即｜c1＋1｜＝６.解得c1＝5或c1＝7. 故与已知边平行的直线方程为x+3y+7=0.

3x－y＋c2＝0则

3(1)c210610，即｜c2－3｜＝6.c2＝9或c2＝－3.

3x-y+9=0和3x-y-3=0

综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：

x+3y+7=0、3x-y+9=0、3x-y-3=0

说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程

四、课堂练习：

王新敞王新敞1．.到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合是(

) 5A.直线2x+y－2=0

B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y－2=0

D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 2.点P(m－n,－m)到直线xy=1的距离等于(

) mnA.m2n2

B.

m2n2 C.

m2n2

D.m2n2

3.若A(sinθ，cosθ）、B（cosθ，sinθ）到直线xcosθ+ysinθ+p=0(p＜－1)的距离分别为m、n，则m、n的大小关系是(

) A.m≥n

B.m≤n

C.m＞n

D.m＜n

4.已知点(3，m)到直线x+3y－4=0的距离等于1，则m等于(

) A. 3

B.－3

C.－33

D.

3或－

33

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5.直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是(

) A.4x+y－6=0

B.x+4y－6=0 C.3x+2y－7=0或4x+y－6=0

D.2x+3y－7=0或x+4y－6=0 6.点P(x,y)到直线5x－12y+13=0和直线3x－4y+5=0的距离相等，则点P的坐标应满足的是(

) A.32x－56y+65=0或7x+4y=0

B.x－4y+4=0或4x－8y+9=0 C.7x+4y=0

D.x－4y+4=0 7.已知直线l1：y=x与l2：y=－3x，在两直线的上方有一点P，过P分别作l1、3l2的垂线，垂足为A、B.已知｜PA｜＝22，｜PB｜＝23. 求(1)P点坐标；(2)｜AB｜的值

8.三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(－4,7)，求角A的平分线方程

王新敞王新敞9.已知一直线l被两直线l1：3x+4y－7=0和l2：3x+4y+8=0截得的线段长为15且4l过点P(2，3)，求直线l的方程

王新敞参考答案：1.D

2.A

3.A

4.D

5.C

6.A

7.(1)(0，4)

（2）62

8.7x+y－29=0

9.x=2或7x－24y+58=0

四、小结

：两条直线平行与垂直的条件；两条直线的夹角和点到直线的距离公式；直线的方程判断两条直线的位置关系；直线系方程的应用

五、课后作业：

王新敞王新敞1.已知直线l1：A1x+B1y+C1＝0与直线l2：A2x+B2y+C2＝0相交，则方程λ1（A1x＋B1y＋C1）＋λ2（A2x+B2y+C2）=0,(12≠0)表示(

) A.过l1与l2交点的一切直线

B.过l1与l2的交点，但不包括l1可包括l2的一切直线

C.过l1与l2的交点，但包括l1不包括l2的一切直线

D.过l1与l2的交点，但既不包括l1又不包括l2的一切直线

2.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(

) 22

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A.恒过定点(－2,3)

B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3)和点(2，3)

D.都是平行直线

3.点(3，9)关于直线x+3y－10=0对称的点的坐标是(

) A.(－1,－3)

B.(17,－9)

C.(－1,3)

D.(－17,9) 4.下列直线中与直线y+1=2x平行的直线是(

) 3A.2x－3y+m=0(m≠－3)

B.2x－3y+m=0(m≠1) C.2x+3y+m=0(m≠－3)

D.2x+3y+m=0(m≠1) 5.已知M(1，0)、N(－1，0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是

A.［－2,2］

B.［－1，1］

C.［－11，］

D.［0，2］

226.直线y=k(x－1)(k∈R)表示经过点到

且不与

垂直的直线. 7.若方程(6a2－a－2)x+(3a2－5a+2)y+(a－1)=0表示平行于y轴的直线，则a的值

. 8.两平行线l1、l2分别过点P1（1，0）与P2（0，5），

(1)若l1与l2距离为5，求两直线方程；

(2)设l1与l2之间距离是d,求d的取值范围. 9.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状

10.(1)求证直线(2+m)x+(1－2m)y+4－3m=0,不论m为何实数，此直线必过定点. (2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程

参考答案：

1.A

2.A

3.A

4.A

5.A

6.(1，0)；x轴

7.不存在

王新敞王新敞8.(1)

l1的方程为y=0或5x－12y－5=0. l2的方程为y=5或5x－12y+60=0. (2)（0，26］

9.C(2，4)；直角三角形

10.(1)略 (2)2x+y+4=0

六、板书设计（略）

王新敞王新敞七、课后记：

王新敞

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