1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学实录

《四种命题间的相互关系》教学设计

教学目标: 四种命题间的相互关系及四种命题的真假性的判断. 教学重点: 会写四种命题并判断其真假. 教学难点: 利用四种命题间的相互关系判断命题的真假. 预习提纲: (根据以下提纲，预习教材第6

页～第8页) 1.四种命题 . 命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

请填(1)(2)(3)空格

2.分析下列四种命题之间的关系. (1)若fx是正弦函数，则fx是周期函数；

(2)若fx是周期函数，则fx是正弦函数；

(3)若fx不是正弦函数，则fx不是周期函数；

(4)若fx不是周期函数，则fx不是正弦函数. (1)(2)互为 互逆命题__________，(1)(3)互为 互否命题___________，

(1)(4)互为 逆否命题__________，(2)(3)互为 逆否命题__________. 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

否命题

互逆

若p，则q 原命题

互

互逆

互

若q，则p 逆命题

表现形式

若p，则q

若q，则p(1) 若p，则q(2) 若q，则p(3) 互否为

为

逆

逆

否

否

互否

若¬p，则¬q

逆否命题

若¬q，则¬p

3.四种命题的真假性

原命题

逆命题

否命题

题

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

真

假

真

真

假

假

逆否命由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若p，则q若q，则p”，即欲证“若p，则q”为真，可由假设“非q”来证明“非p”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若p，则q“是真命题. 【基础练习】

1.下了四个命题：①命题“若xy1，则x,y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等的三角形全等“的否命题；③命题”若m1，则x22xm0有实根“的逆否命题；④命题”若ABB，则AB“的逆否命题. 其中是真命题的是 ①②③ (填上你认为正确的命题序号). 2.下列说法中正确的是( Ｄ ) (Ａ)一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真. (B)“ab”与“acbc”不等价

(C)“若a2b20，则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0，则a2b20”

(D)一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3.命题“若m0，则x2xm0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是( C ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

4.命题“若a5，则a225”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( C ). (A)原命题、否命题 (B)原命题、逆命题

(C)原命题、逆否命题 (D)逆命题、否命题

【典型例题】

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.

(1) 若ab，则ac2bc2；

(2) 若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形. 【审题要津】.本题已具备“若p,则q”的形式，因此可直接写出他们的四种命题. 解：(1)逆命题：若ac2bc2，则ab，(真命题). 否命题：若ab，则ac2bc2，(真命题). 逆否命题：若ac2bc2，则ab，(假命题). (2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，(真命题). 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，(真命题). 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，(真命题). 【方法总结】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写. 变式训练1：已知命题甲：“若q，则p”，命题乙：“若q，则p”，则甲与乙两个命题的关系式 互否命题 . 例2 已知奇函数fx是定义在R上增函数，若fafb0，求证ab0. 【审题要津】当个命题不好证明的时候，可以写出它的逆否命题，只需要证明逆否命题正确就可以. 解：其逆否命题为：已知奇函数fx是定义在R上增函数，若ab0，则fafb0. ab0,ab

又函数fx是定义在R上的增函数，

fafb

有函数fx是奇函数，所以fbfb，故

fafb=fb

所以fafb0. 【方法总结】本题还可以利用反证法来证明. 变式训练

2：已知函数fx是定义在R上的增函数，a、bR，若ab0，求证fafbfafb. 【审题要津】注意ab0可变形为：ab或ba. 解：由于ab0可得ab或ba，又由于函数fx是定义在R上的增函数，

fafb,fba

故fafbfafb

【方法总结】注意式子的变形应用，同时还可以把它看成命题写出它的逆否命题、逆命题，然后证明其命题的真假. 自我检测：

1.命题“若x21，则1x1”的逆否命题是( D ). (A)若x21，则x1或x1 (B)若1x1，则x21

(C)若x1或x1，则x21 (D)若x1或x1，则x21

2.给出命题：若函数yfx是冥函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C ). (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

3.若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的( C ). (A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)等价命题

4.设原命题：若ab2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( A ). (A)原命题真，逆命题假 (B)原命题假，逆命题真

(C)原命题与逆命题均为真命题 (D)原命题与逆命题均为假命题

5.与命题“若mM,则nM”等价的命题是( D ). (A)若mM,则nM (B)若nM，则mM

(C)若mM，则nM (D)若nM，则mM

6.有下列四个命题：

①“若b3,则b29”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c1，则x22xc0有实根”；

④“若ABA，则AB”的逆否命题. 其中真命题的个数是( A ). (A)1 (B)2 (C) 3 (D)4

7.命题xAB的否命题是

xA或xB . 8.命题“若ab0，则a,b中至少有一个为零”的逆否命题是

若a,b都不为零，则 ab0. 9.写出命题“当abc0时，a0或b0或c0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假. 【审题要津】

注意命题之间的转换的时候，一些词语和词语的否定. 解：原命题是真命题

逆命题：若a0或b0或c0，则abc0， 是真命题. 否命题：若abc0，则a0且b0且c0， 是真命题. 逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，

是真命题. 【方法总结】命题的真假性的判断，可以利用命题之间的关系来判断，如原命题与逆否命题的真假性相同，而否命题和否命题的真假性相同. 10.已知x,yR，若xy2，则x,y中至少有一个大于1. 【审题要津】当一个命题直接证明不好证明的时候，可以写出它的等价命题即逆否命题，只要证明逆否命题成立就行. 解：原命题的逆否命题为：若x,y都小于等于1，则xy2，

x1,y1 xy2

即结论成立. 【方法总结】 这个题也可以用反证法来证明.